想说“等你”不容易

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摘 要：利用基本不等式求最值，关键是一正、二定、三相等，对于前两个要求，学生较易掌握，但对于“=”号能否成立，学生会经常忽略. 而要保证等号成立，可以通过均拆法来实现，对于较复杂的问题，还需要利用待定系数法等方法才能完成.另外，当此类问题与离散型问题相结合时，更要关注等号能否成立，否则就会出现科学性错误. 本文通过研究性学习的方式，给出保证等号成立的多种方法，使学生充分认识等号成立的重要性.

关键词：基本不等式；定值；相等；研究性学习

[?] 教学源起

利用基本不等式求最值时，“=”号能否成立，是教学中的一个重点和难点，也是学生平时容易忽略和比较棘手的问题. 对于简单的情形，很容易判断等号是否成立，但对于较复杂的问题，为了保证“=”号成立，还需要对原式进行适当的变形和处理. 另外，当此类问题与离散型变量相结合时，更应关注“=”号能否成立，否则就会出现科学性错误. 正是基于这种考虑，笔者在高三进行了一次 “应用基本不等式求最值”的研究性学习，以下就是笔者通过问题串的方式进行教学设计的过程实录.

[?] 教学设计

一、初始问题 内化知识

例1 已知a>0，b>0，求的最小值.

对于初始问题，学生解决起来并不困难，但它却是将本节课引向纵深的一个“导火索”. 学生由基本不等式可知：a2+b2≥2ab，所以≥2（当且仅当a=b时，“=”号成立），所以

min=2.

初始问题解决后，笔者让学生体会应用基本不等式求最值的一般方法及步骤，并着重强调验证“=”号能否成立！如果说，初始问题只是“小试牛刀”，那么，接下来的变式问题，则会将学习引向深入.

二、变式问题 优化方法

变式1 已知：a>0，b>0，c>0，求的最小值.

对于变式1，仅仅是将字母从两个增加为三个，问题的本质并未发生改变. 学生自然会想到：为了创造利用基本不等式求最值的条件，更为了保证“=”号成立，必须将原式分子中的三项等分为两项之和的形式.

原式==≥=1，可以验证：当且仅当a=b=c时，“=”号成立，所以

min=1.

变式2 a>0，b>0，c>0，求的最小值.

变式2与变式1的不同，就在分母中的变化.学生注意到分母中，只含有ab及bc项，所以只需将分子中的b2进行拆分，又注意到ab与bc前的系数都是1，所以考虑将b2进行等分！

因为a2+b2+c2=a2+b2+b2+c2≥2+2=（ab+bc），所以原式≥（当且仅当a=c=时，“=”号成立），所以

min=.

变式3 a>0，b>0，c>0，求的最小值.

变式3与变式2尽管分母中都只含有ab及bc项，但前面的系数不同. 学生可能会想到利用基本不等式来解题，但对于分子如何来进行拆项，却无从下手. 在变式2中，学生将b2进行等分，也许是“跟着感觉走”，但这里均拆法已经行不通，如果逐个进行尝试，既费时，又比较盲目！这时笔者及时进行点拨，启发学生采用待定系数法来进行拆项，既快捷，又方便！

设a2+b2+c2=a2+（xb2+yb2）+c2=（a2+xb2）+（yb2+c2）≥2ab+2bc（其中x+y=1），为了使得原式取得最小值，必须使得2ab+2bc与ab+2bc的商是一个定值，于是可设：2ab+2・bc=k（ab+2bc），因此，

2=k，

2=2k，

x+y=1，解得：x=，y=，k=. 于是，原式≥. 当且仅当a=b，c=・b时，“=”号成立.

故

min=.

通过例3的变式3，笔者着重向学生介绍利用待定系数法进行拆项的方法和技巧. 在解决了上述问题以后，学生会误以为利用基本不等式求最值是万能的，笔者又适时地给出变式4，让学生对它的错误解法进行探究，从而树立对这一问题的正确认识！

变式4 求sin2x+的最小值.

对于此题，学生中有可能会出现下面的典型性错解：sin2x+≥2=4，

所以ymin=4.

对于这种错解，必须引导学生从“=”号能否成立入手进行探究. 这里要使得“=”号成立，必须sin2x=，即sin2x=2，这显然不可能！如果想通过拆项的方法，创造等号成立的条件，是非常困难的！因此，对于本题，只能改用函数的单调性来求函数的最值. 正确的解题过程如下：设sin2x=t（0

在完成了例1及变式的探究后，考虑到学生对利用待定系数法进行拆项还不是很熟悉，接下来，笔者又给出具有挑战性的拓展问题，让学生进一步探究，从而加深对方法的理解和应用.

三、综合问题 深化思维

例2 若x是非负实数，求函数y=+的最大值.

对于本题，学生可能想到利用导数来求它的最值，但尝试以后，学生发现运算较繁. 于是，笔者引导学生利用基本不等式来寻求它的最值. 首先，为沟通解析式右边两部分之间的联系，应利用基本不等式对4+x2进行放缩. 因为4+x2≥，所以≤，

所以≤，所以y≤+=+. 接下来，还需对进行放缩，从而为利用基本不等式求最值创造条件，怎样放缩？由于有上题的解题经验，学生自然会想到用待定系数法来实现.设+n≥2（*），这时，一方面2=1?mn=（1）；另一方面，由（*）式，可得：≤+n，于是， y≤+

+n

=+n，要使得此式为一定值，必须=（2）.由（1）（2）解得：m=，n=，将m，n的值代入（*）式，得≤+=

+

，因此y≤+=，要使得这里的“=”成立，必须满足x=2，

=n，即x=2时，“=”号成立. 故ymax=.

以上通过基本不等式求出函数的最值，尽管解题过程较简洁，但对变形技巧的要求较高，特别是对放缩法和待定系数法要运用娴熟！

四、错误问题 点化迷津

通过以上问题的研究性学习，已经达到了预期的教学目标，学生也能准确地利用基本不等式解决最值问题. 但为了进一步强化“应用基本不等式求最值时，必须保证等号成立”的思想，笔者将以前某市高三调研测试卷上的一道错题，让学生进行探究. 一方面，再次让学生认识到保证“=”号成立的重要性；另一方面，也让学生明白，就是教师在编制基本不等式求最值的问题时，也应充分考虑等号能否取到，特别是当此类问题与离散型变量结合时，更应慎之又慎，否则就会犯科学性错误！

例3 （2013年某市高三调研测试卷）数列{an}满足a1>1，an+1-1=an（an-1）（n∈N*），且++…+=2，则a2013-4a1的最小值为（ ）；

笔者首先呈现命题者给出的解答：

由题意知得，-=，即：-=，在此式中令n=1，2，…，2012，将所得式子相加得：-=++…+. 又++…+=2，所以-=2.

设a1-1=x，a2013-1=y，

所以-=2，

则a2013-4a1=y-4x-3=（y-4x）

-

-3=

-1-4++

-3≥-.

当且仅当=，-=2时，

即x=，y=时，“=”号成立.

此时a1=，a2013=. 所以（a2013-4a1）min=-.

接下来，让学生探究最小值-能否取到？也就是要判断“=”能否成立？学生可能会意识到答案有问题，但又不能断定“=”号能否成立，因为从以上的解答来看，似乎无懈可击. 这时，教师应对学生进行适当地指导，然后让学生进行小组合作探究，最终可以发现“=”取不到！这是一道有科学性错误的试题.具体原因如下：

因为an+1=a-an+1，所以an+1-an=a-2an+1=（an-1）2>0，所以{an}是一个递增数列，所以对an（1≤n≤2013），都有：a1≤an≤a2013，所以≥=，所以≥2012×>2. 这显然与已知矛盾！

[?] 教后反思

通过以上四类问题的探究，学生经历了一个由浅入深、由易到难的学习过程，学生的思维逐步得到提升. 首先，让学生意识到在应用基本不等式求最值时，必须保证“=”号能取到，对于较简单的问题，可以利用均拆法来完成，这是教学设计的第一层次；其次，对于较复杂的问题，则需要利用待定系数法来进行拆项，拆项的原则和目的，都是为了确保“=”号能成立，这是教学设计的第二层次；另外，有些问题无法通过拆项来保证“=”号成立，这时只能通过函数的单调性来解决，这是教学设计的第三层次，借此告诉学生，在求最值问题上，基本不等式也不是万能的. 为了进一步突出强调“=”号成立的重要性，笔者特意设计了第四层次，给出一道错题作为研究性学习的材料，激发学生的学习兴趣，通过纠错探究，也将整个研究性学习活动推向高潮！

当然，在整个学习活动中，也出现少部分学生对简单问题不重视、缺乏兴趣，对于较难问题往往心有余而力不足，感觉无从下手，从而影响他们的参与热情和研究性学习的效果. 对于学生的探究活动，有时也存在“贴标签”的嫌疑. 另外，在整个活动中，学生的学习方式较单一，还可以采用小组合作学习、学生自主学习等多种方式，这样效果会更好.