高寿风险对个人年金定价的影响
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一、引 言
传统的精算定价方法假定死亡率是静态的，实际上死亡率是随时间而变动的具有动态不确定性的变量。例如，2006 年 1 月 1 日颁布实施的《中国人寿保险业经验生命表( 2000 年 ～2003 年) 》( 简称: CL( 2000 年 ～2003 年) ) 与《中国人寿保险业经验生命表( 1990 年 ～ 1993 年) 》( 简称: CL( 1990 年 ～ 1993 年) ) 相比: 新生命表下养老金业务表零岁余命男性为 79． 7 岁，较 CL( 1990 年 ～1993 年) 生命表改善 4． 8 岁，女性零岁余命为83． 7 岁，较 CL( 1990 年 ～ 1993 年) 生命表改善了 4． 7 岁( 魏迎宁，2006) 。可以看出，十年间中国人寿保险业养老金业务投保人群的死亡率出现了明显改善，具有动态性。从总体上看，死亡率呈现不断下降的趋势且变动具有动态不确定性，由此产生了一类风险———长寿风险。依 MacMinn，Brockett 和 Blake( 2006) 、Stallard( 2006) 的定义，长寿风险是指个人或总体人群未来的平均实际寿命高于预期寿命产生的风险。可以从个体和整体两个层面来定义长寿风险: 个体长寿风险( Individual Longevity Risk) 是指个人在其生存年限内的花费超过了自身所积累的财富，此类风险可通过参加相关养老保险进行管理; 总体人群的长寿风险称为聚合长寿风险( AggregateLongevity Risk) ，是指一个群体的平均生存年限超过了预期的年限，该风险是无法根据大数法则进行分散的系统性风险( Milevsky，Promislow，Young，2006; Cairans，Blake 和 Dowd，2006 ) ，无论是人寿保险公司的年金业务、企业的养老金计划还是政府的社会养老保险计划，均承担着聚合长寿风险。如无特别说明，下文中的长寿风险均指聚合长寿风险。目前长寿风险的相关研究已成为国际上风险管理与保险研究领域的热点问题，在该领域的权威学术期刊 Journal of Risk and Insurance 于2006 年第4 期专刊发表多篇长寿风险研究的论文。
随着中国人口老龄化程度的加剧，长寿风险已成为中国政府、企业和个人所面临的一种日益严重的社会风险。对于中国人寿保险业而言，与 CL( 1990 ～1993) 相比，基于 CL( 2000 ～2003) 生命表的养老金业务投保人群的死亡率改善导致个人年金的趸缴纯保费相对上升幅度超过了 10%( 祝伟，陈秉正，2008) ，这一数据是依据传统的精算定价得出的，未考虑死亡率的动态变化，因此未能充分反映长寿风险的影响。本文由此出发，在预测养老金业务投保人群未来死亡率的基础上，计算个人年金趸缴纯保费的变动，给出动态死亡率下中国人寿保险业个人年金的定价; 在对死亡率变动进行合理假设下，运用风险溢价因子度量长寿风险的市场价格，并运用模拟方法分析长寿风险对个人年金支付的影响。长寿风险源于未来死亡率的非预期改善( 即未来的实际死亡率低于预期死亡率) ，具体而言，该风险来源于两个方面: 精算定价的死亡率假设与投保人群未来死亡率的平均值的偏差、未来死亡率围绕平均值的波动，因此对于未来死亡率变动的预测就成为长寿风险分析的基础。近年来死亡率预测模型的研究取得很大进展( Wong-fupuy 和Haberman，2004; Pitacco，2004) ，其中，Lee and Carter( 1992) 基于美国死亡率数据提出的 Lee-Carter 模型具有模型简洁、对死亡率变动拟合较好、与官方预测相比其预测效果更好且可以对预测的不确定性进行分析等优点，成为死亡率预测模型研究的热点之一( Lee，2000; Lee and Miller，2001) ，并且 Lee-Carter 模型的死亡率指标的预测结果被美国统计局作为美国人口死亡率长期预测的一个基准( Hollmann，Mulder and Kallan，2000) 。国内有关人口死亡率预测的研究目前还较少，卢仿先和尹莎( 2005) 针对1986 年 ～2002 年中国分性别人口的死亡率数据( 其中1987 年 ～1988 年、1991 年 ～1993 年和 2000 年数据缺失) ，运用 Lee-Carter 模型对中国人口死亡率进行估计和预测，并将预测结果与中国统计局的预测结果和实际结果进行了比较，说明 Lee-Carter 模型的预测结果较优。本文将运用该模型对养老金业务投保人群的未来死亡率进行预测。在长寿风险的市场价格测度方面，由于长寿风险是系统性风险，长寿风险的承担者( 本文假定为年金保险人) 要求包含风险溢价的回报。CAPM 模型的风险溢价因子是描述系统性风险的良好指标，但 CAPM 模型是基于收益率随机变量服从正态分布假设得出的( 同时假设风险承担者是风险厌恶的)①，而死亡率随机变量的分布不满足上述假设，因此 CAPM 模型不适用于长寿风险的定价。Wang( 1996，2000) 提出了一种适用于金融和保险风险定价的统一方法—Wang 转换方法，Wang( 2002) 证明在收益率随机变量服从正态分布假设下 Wang 转换的定价方法可以复制 CAPM 模型和 Black-Scholes 期权定价公式的结果，且其转换系数相当于 CAPM 模型的风险溢价因子。Lin 和 Cox( 2005) 、Denuit，Devolder 和 Goderniaux( 2007) 等将 Wang 转换的定价方法引入长寿风险的市场价格测度，给出了长寿风险溢价和长寿风险衍生证券的定价，研究表明 Wang转换的风险定价方法适用于长寿风险的市场价格测度。余伟强( 2006) 首先对长寿风险及其证券化进行了介绍，但其并未进行实证方面的研究。本文将运用 Wang 转换的风险定价方法定量描述个人年金的长寿风险，并运用模拟方法分析长寿风险对个人年金的影响。
二、个人年金精算定价的死亡率假设及修正
投保年龄为 x 岁( x≤60) 、60 岁开始给付、每一生存年的给付额为 1 个单位的个人年金趸缴纯保费为: 式中60 + k － xpx= px× px + 1… × p60 + k － x － 1，w 为最大生存年龄，v 为折现率。在传统的精算定价中假定死亡率指标 pi( i =0，1，…，w) 是静态的: 不随日历年变动，而前文给出的中国人寿保险业新老经验生命表的对比表明死亡率在不断改善，是动态变化的，因此精算定价需要引入动态死亡率假设。目前，中国人寿保险业的生命表是静态的，CL( 2000 ～2003) 表中的死亡率指标只考虑了年龄的影响，并未考虑日历年变动所产生的影响。实际上，以 2006 年 1 月 1 日投保的个人年金产品的 x 岁投保人为例，该投保人当年的生存概率记为p2006x，其生存到 2007 年 1 月 1 日后在 2007 年的生存概率记为 p2007x + 1，这一概率不同于 2006 年 1 月 1 日 x + 1岁投保人的生存概率 p2006x + 1，当存在死亡率改善时，p2007x + 1会略大于 p2006x + 1，并且这一偏差反映出的长寿风险无法通过投保人数的增加加以分散，该风险为系统性风险。上述结果表明，静态的死亡率假设与实际不符，当实际死亡率低于假设死亡率时就产生了长寿风险，保险人无法应用精算定价的基本原则—大数法则来分散该风险，因此保险人面临系统性的长寿风险。
三、Lee-Carter 模型及死亡率预测
为更准确地计算个人年金的应收纯保费，需要引入动态死亡率假设，这就需要对养老金业务投保群体的未来死亡率变动进行预测。在对死亡率变动与年龄、时间的相关性进行考察之后，Lee 和 Carter( 1992) 提出了一个相当简洁的死亡率预测模型ln( ux，t) = ax+ βxkt+ εx，t( 2)式中 ux，t为中心死亡率，ax和 βx为依赖于年龄 x 的参数; kt反映了死亡率随时间变动的趋势; εx，t为随机项，均值为 0 且标准差为 σε。由于有无数多组 ax、βx和 kt满足式( 2) 的要求，为估计上述参数，Lee 和 Carter对 βx和 kt进行了标准化处理，即令Σxβx= 1、Σtkt= 0，可以得出 a^x=1TΣtlnux，t( T 为日历年总数) 。由于公式右端无解释变量，基于上述参数的标准化限制，Lee 和 Carter 运用奇异值矩阵分解方法得出唯一的 a^x、β^x和 k^t。由于目前仅有 2 张中国人寿保险业生命表 CL( 1990 ～1993) 和 CL( 2000 ～2003) ，对应的期中时间分别为 1992 年 1 月 1 日和 2002 年 1 月 1 日，记为时刻 t0和 t1，可将上述表中数据看作两个日历年时点数据，依Lee 和 Carter( 1992) 的计算方法可求得 Lee-Carter 模型参数的估计值 a^x、β^x如图 1 表示。相应的估计值 k^t为: male: k^t 0= 21． 923 9，k^t 1= － 21． 923 9，female: k^t 0= 26． 211 5，k^t 1= － 26． 211 5。由于仅有两个估计值，无法对 1992 年 ～2002 年期间的 k^t序列进行拟合，因此需要对包含上述两个估计值的1992 年 ～2002 年期间的 k^t序列的变动做出假设。Lee 和 Carter( 1992) 对美国1900 年 ～1989 年死亡率变动估计得出的序列的最佳拟合模型为 ARIMA( 0，1，0) 模型，其后对日本、加拿大、法国和瑞典等国的死亡率变动的研究显示，ARIMA( 0，1，0) 模型的拟合结果令人满意( Lee and Miller，2001) ，因此运用 ARIMA( 0，1，0) 模型描述 1992 年 ～ 2002 年期间的 k^t序列，该模型为male: k^t= － 4． 384 8 + k^t － 1，female: k^t= － 5． 242 3 + k^t － 1( 3)运用上述模型求出 k^t的预测值，进一步可得 60 岁保障人群预期余命的预测值如图 2 所示( 仅给出 2003年 ～2012 年的预测值) 。由图 2 可以看出，未来养老金业务投保人群的预期余命明显增加且女性的预期余命高于男性。60 岁男性投保人群的预期余命从1992 年的19． 7 岁增加到2002 年的22． 7 岁，由本文预测，将进一步增加到 2012 年的 25． 3 岁。60 岁女性投保人群的预期余命从 1992 年的 22． 2 岁增加到 2002 年的25． 4 岁，由本文预测，将进一步增加到 2012 年的 28． 1 岁。设随机变量的分布函数为 F( x) ，生存函数 S( x) =1 － F( x) ，运用概率分布扭曲方法将该生存函数扭曲后得到S*( x) = g［S( x) ］ ( 4)式中扭曲函数 g( •) 满足以下条件: g( 0) =0，g( 1) =1; g'( t) ＞0; g″( t) ＜0。Wang( 1996，2000) 将上述概率分布扭曲方法应用于金融和保险风险的定价，提出 Wang 转换 ( WangTransform) 方法，对应的的函数形式为gλ( u) = Φ［Φ－ 1( u) － λ］ ( 5)式中，Φ( •) 为标准正态分布的分布函数，λ 为转换系数，又称为风险的市场价格，反映了系统性风险的水平。Wang( 2000，2002) 将 Wang 转换与 CAPM 模型、Black － Scholes 期权定价公式进行了比较，结果表明Wang 转换可以复制 CAPM 模型和 Black － Scholes 期权定价公式的结果且转换系数等价于 CAPM 模型的风险溢价系数( 即 Sharpe 比率) 。将 Wang 转换应用于长寿风险定价，定义扭曲的生存概率为tp*x= gλ(tpx) = Φ［Φ－ 1(tpx) + λ］ ( 6)式中tpx表示 0 时刻 x 岁人口生存到时刻的概率。Lin 和 Cox( 2005) 、Denuit，Devolder 和 Goderniaux( 2007) 令 a*x与个人年金保费的市场价值相等，计算得出的风险转换系数 λ 即为长寿风险的市场价格。
运用 Wang 转换方法度量个人年金中蕴含的长寿风险的市场价格。依中国保监会《关于修订精算规定中生命表使用有关事项的通知》( 保监发［2005］118 号) 的规定，保险公司在厘定保险费时，自行决定采用的预定死亡率; 法定责任准备金的评估死亡率采用 CL( 2000 年 ～2003 年) 所提供的数据。由上述规定，本文中个人年金产品的精算定价仍采用 CL( 2000 年 ～2003 年) 中养老金业务表的死亡率数据，以 2006 年 1 月 1 日投保的个人年金产品为例计算该产品包含的长寿风险的溢价。记 CL( 2000 年 ～2003 年) 中养老金业务表的条件生存概率为 pmarketx + k( k =0，1，…，105 － x; x =30，31，…，60) ，pmarketx + k为精算定价的死亡率假设; 记 Lee-Carter模型预测的条件生存概率为 prefx + k( k =0，1，…，105 － x; x =30，31，…，60) ，其中 prefx + k为 2007 年 x +1 岁人口的条件生存概率的预测值，prefx + 2为 2008 年 x +2 岁人口的条件生存概率的预测值，prefx + k包含了死亡率的动态改善的部分影响( 考虑到预测期间长度，本文选择最小的 x =30) 。在预定利率的选择上，一方面，依《关于调整寿险保单预定利率的紧急通知》( 保监发［1999］93 号) 规定: 寿险保单( 包括含预定利率因素的长期健康险保单) 的预定利率不超过年复利 2． 5%，因此本文假定保险业个人年金定价的预定利率为 2． 5% ; 另一方面，依 2007 年 12 月 21 日中国人民银行颁布的利率调整相关规定，现行金融机构 5 年期存款利率为 5． 80% ，金融机构 5 年期以上的贷款利率为 7． 83% ，但考虑到个人年金产品的保障期较长( 一般在 30 年以上) ，利率存在一定的波动，因此本文假定未来的保险资金的实际投资收益率为年复利 5% 。基于养老金业务表的死亡率数据 pmarketx + k( k = 0，1，…，105 － x; x = 30，31，…，60) ，依公式( 1) 可得相应的个人年金趸缴纯保费为 amarketx( 最大生存年龄 w = 105) ; 基于 Lee-Carter 模型预测的死亡率数据 prefx + k( k = 0，1，…，105 － x; x = 30，31，…，60) ，可得相应的个人年金趸缴纯保费为arefx，如图 3 所示。图 3 中，“market”表示基于 CL( 2000 年 ～2003 年) 中养老金业务表死亡率数据计算的个人年金趸缴纯保费，“forcast”表示由 lee-Carter 模型预测的死亡率数据计算的个人年金趸缴纯保费。基于 CL( 2000 年 ～2003 年) 中养老金业务表和保守的利率假设计算的个人年金趸缴纯保费高于包含死亡率改善影响的各年龄不同性别投保人的个人年金趸缴纯保费，上述保费差异反映了长寿风险的影响。在这里，计算个人年金趸缴纯保费的市场价格所采用的利率 2． 5%为保险人在承担长寿风险条件下所采用的包含风险溢价的利率( 实际上，这一利率也包含了利率风险溢价，这简单起见，本文假设在依据预测的生存概率计算的趸缴纯保费所使用的预定利率 5%中已包含了利率风险的影响，从而本文不再考虑利率风险的影响) 。依据金融经济学相关理论，个人年金趸缴纯保费的市场价格等价于采用无风险利率( 本文中为不包含长寿风险的利率) 和调整的生存概率计算的趸缴纯保费，从而可以得到长寿风险的市场价格。本文运用 Wang 转换方法对 arefx进行长寿风险的调整，使得风险调整的保费等于 amarketx，计算长寿风险的市场价格 λ，公式为：式中 λx为岁投保人的个人年金的长寿风险市场价格，运用数值解法得出 55 岁至 60 岁投保人个人年金的长寿风险市场价格如表 1 所示。
从表 1 中可以得出:
1． 长寿风险的市场价格 λx均为正数，反映出中国人寿保险业个人年金趸缴纯保费的市场价格包含了保险人承担长寿风险所要求的回报。
2． 女性投保人的长寿风险市场价格明显高于男性，这一结果来自两个方面的影响: 第一，女性投保人趸缴纯保费的市场价格与依预测的生存概率计算的趸缴纯保费的差距大于男性投保人; 第二，女性投保人的生存概率明显高于男性投保人，由于正态分布函数的特性，即使男女性投保人对应的扭曲生存概率与原生存概率的差距相同时，女性投保人对应的 λx值也要大于男性投保人。
3． 伴随投保年龄的下降，长寿风险的市场价格明显增加。这是由于: 投保年龄越小，利率的影响越大，为补偿这一影响，调整的 λx值随之变大。当投保年龄很小时，保守利率的影响变得很大，而生存概率有上限1，因此 λx值即使很大也不能满足保费等价的要求( 例如，对于 54 岁的女性投保人，即使 λx趋向无穷大，得出的趸缴纯保费仍低于市场纯保费) ，这一事实似乎反映出概率调整的一类风险定价方法( 包括金融经济学中经典的风险中性定价方法) 应用于长寿风险定价有其局限性。但实际上，面对包含保险人确定的包含风险溢价的保守利率 2． 5%，理性投保人将会推迟投保，其最优决策是在其退休时刻( 依据中国的实际情况，本文假定退休时刻为年满 60 岁) 进行投保，因此 Wang 转换的风险定价方法仍是适用的。
四、长寿风险对个人年金定价影响的分析
本文将以 60 岁投保的男性养老金业务群体的个人年金定价为例，运用模拟分析的方法进一步分析长寿风险对个人年金支付的影响。记 CL( 1990 年 ～1993 年) 养老金业务表 x 中岁男性的条件生存概率为 p0x，CL( 2000 年 ～2003 年) 养老金业务表中 x 岁男性的条件生存概率为 p1x，存在满足下式的 εp1x= ( ( p0x)1 － ε)10( 8)式中，ε 反映了各年龄人口年死亡率的改善，可以得出 ε 的样本均值和方差的变动情况如表 2 所示。假定 ε 服从 beta 分布( Lin and Cox，2005) ，各年龄段死亡率改善的平均程度( 即各年龄段的 ε 值) 成比例关系且标准差与均值的比例关系也保持不变，用 ε 的随机变动代表未预期到的死亡率改善( 即存在长寿风险) ，则可以得到当 60 岁以上的 ε 均值分别为 0． 01、0． 05、0． 10、0． 25、0． 50 时，未来的个人年金实际支付的现值的变动如表 3 所示( 模拟次数为 1 000 次) 。
从表 3 可以看出，伴随 E( ε) 的增大，相对于不包含未预期死亡率改善的年金支付的现值( 60 岁男性人口的年金支付现值为 14． 9085) ，包含未预期死亡率改善的个人年金支付现值增大: 平均 5%的未预期死亡率改善将导致以年金支付现值的均值计算的纯保费将增加 7%。将个人年金支付现值的 95%分位数作为在险值，得出当 E( ε) =0． 05 时包含未预期死亡率改善的个人年金支付现值的在险值相对于原年金支付现值增加了 0． 71%，该数值反映了未预期死亡率改善的波动对个人年金支付的额外影响。需要指出的是，上述数据的计算是基于名义投资收益率和个人年金的水平年支付进行的，因此生存年限越高的年金支付在计算中的重要性越低，实际上考虑到通货膨胀的影响，个人年金的年支付应设计成水平递增的，此时长寿风险对个人年金趸缴纯保费的影响将会进一步增大。
五、结 论
基于中国人寿保险业经验生命表 CL( 1990 年 ～1993 年) 和 CL( 2000 年 ～2003 年) 中养老金业务表的死亡率数据，在动态死亡率的分析框架下，给出中国人寿保险业养老金业务投保群体的死亡率预测，并分析了个人年金产品长寿风险的影响，得出以下结论:
1． 依本文第三部分的计算，未来中国人寿保险业养老金业务投保群体的预期寿命将持续增加: 1992 年至 2012 年间 60 岁投保人群的预期余命平均 10 年增长 2． 5 岁以上。
2． 由于中国寿险业年金定价使用的预定利率相对保守，导致基于 CL( 2000 年 ～ 2003 年) 中养老金业务表计算的个人年金趸缴纯保费包含了对死亡率改善导致的长寿风险的溢价回报( 长寿风险的市场价格均为正) ，这一结果表明在考虑了长寿风险的冲击后中国寿险公司的年金业务仍然是赢利的。
3． 从模拟分析来看，长寿风险对个人年金纯保费的支付有明显影响: 对于 60 岁投保的男性，5% 的未预期死亡率改善将导致个人年金支付现值上升超过 7%。这一结果表明长寿风险对于保险公司年金业务的定价和准备金管理有着不可忽视的影响。
上述结论的政策含义:
1． 本文的实证分析表明: 由于在现阶段寿险公司采用了较低的利率对寿险产品进行定价，使得个人年金市场价格实质上包含了长寿风险溢价的回报。但保险公司不对长寿风险进行识别并度量其影响会带来三个方面的后果: 一是上述长寿风险的溢价没有费率计算的支撑，有失保险的公平原则; 二是目前保守的产品定价有可能随着经济、保险市场和监管环境的变化而变得不再保守，将可能导致保险定价过低，为公司经营带来损失; 最后是由于长寿风险的影响是经过长期积累才变得显著，当影响显现时，可能已经对公司的保险赔付及经营效益产生严重的负面影响，本文的模拟分析已经指出这一点。因此，需要加强对长寿风险的管理。
2． 从保险公司、保险行业和保险监管部门三个层面加强对长寿风险的管理。首先，保险公司在保单定价时需要准确估计未来死亡率的动态改善，消除未来死亡率的动态改善的平均影响; 对于未来死亡率改善的波动部分，可以充分利用保险产品的设计及业务组合进行管理: ( 1) 可以利用再保险转移出部分长寿风险; ( 2) 扩大分红型年金产品的业务。由于分红型产品包含死差益( 损) 因素，因此分红型年金产品可以使得投保人分担部分长寿风险; ( 3) 通过保单设计延迟年金投保者的投保年龄，从而降低长寿风险的影响。( 4) 利用死亡险产品和年金产品之间存在的长寿风险的自发对冲对长寿风险进行管理。伴随死亡率改善，年金的保费上升、死亡险的保费下降，死亡险产品和年金产品之间存在一定程度的长寿风险的自发对冲，因此可以运用年金产品和死亡险产品的组合对长寿风险进行一定程度的规避( CowleyA． and D． Cummins，2005) 。其次，保险行业协会保险行业死亡率数据收集、整理与方面应积极发挥作用，使得包含长寿风险在内的保险产品的定价具有可靠的数据基础，从而使得保险产品定价更为公平。最后，保险监管部门在制定相关精算规定时必须充分考虑长寿风险对寿险产品定价和负债的影响，一种可行的方式是在精算规定中对寿险产品定价允许包含死亡率逐渐缩减的因素，见文献［4］的政策建议部分。