分类例析有关函数图象对称性的高考试题
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函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，它的数学思想方法贯穿了整个高中数学的始终，它也是学好高等数学的基础，因此在高中数学中，函数起到了主导的作用，处于核心的地位.在高考中，函数自然占据了极其重要的位置，而函数图象和性质更是历年高考的热点和重点.而函数图象的对称性是函数其中的一个基本性质，它也是高考考查的一个重点性质，本文就结合近几年高考中关于函数图象对称性的考查，举例进行分类解析。
一、直接考查函数图象的对称性（包括中心对称和轴对称）
例1.（2002年高考上海春季卷12）.设f（x）=12x+2，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，可求得f（-5）+f（-4）+f（-3）+…f（0）+f（1）+…f（5）+f（6）的值为 .
[解析]f（x）+f（1-x）=12x+2+121-x+2=2+2x2（2x+2）=22
f（-5）+f（6）=f（-4）+f（5）=…f（0）+f（1）=22
代数式所求的值为6・22=32，故填32.
[评注]此题表面上是考查类比用推导等差数列前n项和的方法（倒序相加法）来求得代数式的值，但其实质上是利用函数f（x）图象的对称性即函数f（x）图象关于点（12，24）对称.
例2.（2008年山东卷・理4）.设函数f（x）=x+1+x-a的图象关于直线x=1对称，则a的值为（ ）
（A）3 （B）2 （C）1 （D）-1
[解析]因为函数f（x）=x+1+x-a的图象关于直线x=-1+a2对称，因此-1+a2=1，解得a=3，故选A.
例3.（2009年高考福建卷・理10）.函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象关于直线x=-b2a对称.据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程mf（x）2+nf（x）+p=0的解集都不可能是（ ）
（A）1，2 （B）1，4 （C）1，2，3，4 （D）1，4，16，64
[解析]设f（x）=t，且方程mt2+nt+p=0的两个实根设为t1、t2.
若t1=t2，则方程f（x）=t1的两个实根x1、x2应满足x1+x2=-b2a，故A、B都有可能.若t1≠t2，则方程f（x）=t1的两个实根x1、x2与方程f（x）=t2的两个实根x3、x4都应满足x1+x2=-b2a=x3+x4，因此C也有可能，故选D.
例4.（2009年高考辽宁卷・理12）.若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x-1）=5，则x1+x2=（ ）
（A）52 （B）3
（C）72 （D）4
[解析]2x=5-2x，2log2（x-1）=5-2x，即2x-1=52-x，log2（x-1）=52-x，作出y=2x-1，y=52-x，y=log2（x-1）的图像（如下图），y=2x-1与y=log2（x-1）的图像关于y=x-1对称，它们与y=52-x的交点A、B的中点为y=52-x与y=x-1的交点C，xC=x1+x22=74，x1+x2=72
故选C.
例5.（2009年高考福建数学卷・理20）.已知函数f（x）=13x3+ax2+bx，且f（-1）=0w
（1）试用含a的代数式表示b，并求f（x）的单调区间；
（2）令a=-1，设函数f（x）在x1，x2（x1
记点M（x1，f（x1）），N（x2，f（x2）），P（m，f（m）），x1
（I）若对任意的m∈（t，x2]，线段MP与曲线f（x）均有异于M，P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论.
（II）若存在点Q（n，f（n）），x1≤n
[解析]（1）略（2）（I）略
（II）f（1）=13-1-3=-113点G（1，-113）在一元三次函数f（x）=13x3-x2-3x图象上，此时点G（1，-113）也恰好是连接一元三次函数f（x）的两个极值点M（-1，53），N（3，-9）所得线段MN的中点.又
f（x）+f（2-x）=13x3-x2-3x+13（2-x）3-（2-x）2-3（2-x）=13・2・[x2-x（2-x）+（2-x）2]-2x2+4x-10=23（3x2-6x+4）-2x2+4x-10=-223f（2-x）=-223-f（x）即一元三次函数f（x）图象上的任意一点Q（x，f（x））关于点G（1，-113）对称的点P（2-x，-223-f（x））也在一元三次函数f（x）的图象上，故一元三次函数f（x）的图象会关于点G（1，-113）对称，因此点Q（n，f（n））（-1≤n
[小结]1.函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）对称f（2a-x）=2b-f（x）f（x）+f（2a-x）=2b.
2.函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称f（a+x）=f（a-x）f（x）=f（2a-x）f（b+x）=f（2a-b-x）.
二、综合考查函数图象的对称性与函数单调性的关系
例6.（2004年高考上海卷10）.若函数f（x）=ax-b+2在[0，+∞）上为增函数，则实数a、b的取值范围是 。
[解析]由已知得a≠0且函数f（x）=ax-b+2的图象关于直线x=b对称当a>0时，函数f（x）=ax-b+2的单调递增区间是[b，+∞）。
当a0且b≤0。
例5.（2008年高考全国卷Ⅰ・理9）.设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式f（x）-f（-x）x
（A）（-1，0）∪（1，+∞） （B）（-∞，-1）∪（0，1）
（C）（-∞，-1）∪（1，+∞） （D）（-1，0）∪（0，1）
[解析]由奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数得f（x）在（-∞，0）上为增函数且f（-x）=-f（x），由f（1）=0得f（-1）=0f（x）-f（-x）x
x・f（x）
x>0f（x）
[小结]1.奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性。
2.偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性。
三、综合考查函数图象的对称性与函数周期性的关系
例8.（2005年高考天津卷・理16）.设fx是定义在R上的奇函数，且y=fx的图象关于直线x=12对称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）= 。
[解析]fx是定义在R上的奇函数f（-x）=-f（x）f（0）=0
y=fx的图象关于直线x=12对称f（x）=f（1-x），因此f（1+x）=f（-x）=-f（x）f（2+x）=f（1+（1+x））=-f（1+x）=f（x）f（x）的周期是2f（1）=f（3）=f（5），f（2）=f（4）。
又f（1）=f（1-1）=f（0）=0，f（2）=f（1-2）=f（-1）=-f（1）=0，故填0。
例6.（2009年高考山东卷・理16）.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）=m（m>0）在区间[-8.8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4= 。
[解析]因为定义在R上的奇函数满足f（x-4）=-f（x），所以f（x-4）=f（-x），即函数图象关于直线x=-2对称且f（0）=0，由f（x-4）=-f（x）知f（x-8）=f（x）即函数f（x）是周期T=4[0-（-2）]=8的周期函数，又因为f（x）在区间[0，2]上是增函数，所以f（x）在区间[-2，0]上也是增函数.如图所示，那么方程f（x）=m（m>0）在区间-8，8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1
[小结]1.函数y=f（x）的图象会关于两条直线x=a和直线x=b（b>a）对称
f（x）=f（2a-x）且f（x）=f（2b-x）f（2b-x）=f（2a-x）
f[2（b-a）+x]=f（x），因此f（x）的一个正周期为2（b-a）.
2.函数y=f（x）的图象会关于两个点M（a，0）和N（b，0）（b>a）对称
f（x）+f（2a-x）=0且f（x）+f（2b-x）=0f（2b-x）=f（2a-x）
f[2（b-a）+x]=f（x），因此f（x）的一个正周期为2（b-a）.
3.函数y=f（x）的图象会关于一个点M（a，0）和一条直线x=b（b>a）对称
f（x）+f（2a-x）=0且f（x）=f（2b-x）f（2b-x）=-f（2a-x）
f[4（b-a）+x]=f（x），因此f（x）的一个正周期为4（b-a）.
由此可见，由于一方面具有函数图象对称性的两类典型函数的代表是奇函数和偶函数，另一方面函数图象的对称性与函数的单调性、周期性之间又有十分密切的关系，因此函数图象的对称性成为理解和研究函数其他性质的桥梁和纽带，因此在近几年高考中频繁出现考查函数图象对称性的高考试题就不足为怪，所以在高三数学复习函数图象和性质时，函数图象对称性及其与函数其他性质的关系应该引起我们足够的重视。