管用才是硬道理

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圆锥曲线的第二定义与第一定义是等价关系. 可以做数学推理的起点. 但是，在以第二定义为题材高考题的标准答案中，总是避简就难，对数学学习造成了一定的困难. 运用它解题简单，用几例解题示范，希望能对数学学习有所裨益.

一、第二定义中的焦半径公式，具有很强的穿透力

例1 （2014全国卷新课标Ⅱ理科20题）设F1，F2分别是椭圆C： + = 1（a > b > 0）的左右焦点，M是x上一点且 MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.

（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；

（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN| = 5|NF1|，求a，b.

解 （1）略. （2）设M（x1，y1），N（x2，y2），A（0，2），B（x1，0），MF2∥AO∥NB，且|F1O| = |OF2|， = 2・2？圯b2 = 4a……①

又 = ？圯 x2 = -；|NF1| = a + ex2 = a -

|AF1| = 4|NF1|，即a + = 4a + ？圯 3a2 = 7c2 ？圯 e2 = .

= 1 - e2 = .

由①，得a = 7，b2 = 28，b = 2.

分析 对于|MF2|、|MF1|、|NF1|，焦半径，是圆锥曲线的最基本要素之一. 用焦半径公式直接表达两个线段比，直指解题目标，宜于把技能转化成能力，解题简单，是因为合理.

二、以第二定义为推理起点，管用、简捷

例2 2013全国高考（大纲・理科 ）数学卷21题. 原题. 已知双曲线C： - = 1（a > 0，b > 0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为3，直线y = 2与C的两个交点间的距离为.

（1）求a，b；

（2）设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且|AF1| = |BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.

运用第二定义的简单解法如下：

解 （2）e = 3，c = 3.设A（x1，y1），B（x2，y2）. 如图1.

|AF2| = -a - ex1 = -1 - 3x1.

|BF2| = ex2 + a = 3x2 + 1. |AF2| =

|BF2| ？圯 x1 + x2 = -.

y = k（x - c）b2x2 - a2y2 = a2b2x1 + x2 = = = - ？圯 k2 = .

x1・x2 = = - = - .

如图1.

|AF1| = a - ex1 = 1 - 3x1，|BF1| = -a + ex2 = 3x2 - 1.

（|AB|）2 = （|AF2| - |BF|2）2 = （2 - 3（x1 + x2））2 = 16.

|AF2|・|BF2| = 3（x1 + x2） - 9x1・x2 = 16. 命题成立.

在高考标准答案中，|AF1| = = = -（3x2 + 1），以两点间的距离为起点，对第二定义，是欲用还休，欲用还休. 这个题材，也给了暗示和引领，得到了表现个性机会. 为高考解题演义着精彩.

三、第二定义实用，应该让大众坦然享有

例3 2010辽宁高考理科20题. 设椭圆C： + = 1（a > b > 0）的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为， = 2.

（Ⅰ）求椭圆C离心率；

（Ⅱ）如果|AB| = ，求椭圆C的方程.

解 （Ⅰ）过A（x1，y1），B（x2，y2）作准线垂线AM，BN，直线AB准线交于P，如图2.

设|BF| = t，|AF| = 2t. = e，

|BN| = ； = e，

|AM| = .

BN是PAM的中位线，|PB| = 3t，∠PBN = ，

= = = ？圯 e = .

（Ⅱ） = 1 - e2 ？圯 b2 = a2；

y = k（x - c）b2x2 + a2y2 = a2b2 ？圯 x1 + x2 = ，

|AB| = 2a - （x1 + x2） = ？圯 a = 3，b2 = 5，

C： + = 1.

分析 对于（Ⅰ），如果经历了椭圆第二定义的探讨，以P为顶点的两个相似三角形相继而生，相应边的数量得到直接的表达. 再由直角三角形边长比的数量关系，t消而e出.

对于（Ⅱ），两个焦半径恰好是一类弦长. 通过k，a，b，c，|AB|五个要素的直接对应关系.数学解压轴题也可以善作善成.

简单的解法，是因为更好地体现了数学逻辑的内在要求. 因为考生试卷面对的是资深的阅卷的学者，考场做答应直指目标，在“兰舟催发”之际，不需外在的 “联立、化简、于是、得”等过程连接词. 只需表现自己的个性和理性功力，管用才是硬道理.