中考中规律题的解析

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数学题,可以分为两大类,一类是应用数学规律题,一类是发现数学规律题.应用数学规律题,指的是需要学生应用以前学习过的数学规律解答的题目.发现数学规律题,指的是与学生以前学习的数学规律没有什么关系,需要学生先从已知的事物中找出规律,才能够解答的题目.学生所做数学题,绝大多数属于第一类.

例1（2011•黑河）如图，ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S；取BE中点E，作ED∥FB，EF∥EF，得到四边形EDFF，它的面积记作S．照此规律作下去，则S=.

考点相似多边形的性质；等边三角形的性质；三角形中位线定理.

专题规律型.

分析先根据ABC是等边三角形可求出ABC的高，再根据三角形中位线定理可求出S的值，进而可得出S的值，找出规律即可得出S的值

解答 ABC是边长为1的等边三角形，

ABC的高=AB•sin∠A=1×==，

DF、EF是ABC的中位线， AF=，

S=××=；同理可得，S=×；…?摇?摇 S=（）；

S=•（）（表示为（）•亦可）．

故答案为：S=•（）（表示为（）•亦可）．

点评本题考查的是相似多边形的性质，涉及到等边三角形的性质、锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值及三角形中位线定理，熟知以上知识是解答此题的关键．

例2（2011•盐城）将1、、、按右侧方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是．

考点分类、归纳思想，根式计算.

分析根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．

解答（5，4）从右侧可见为.下面求（15，7）是几：首先看（15，7）是整个排列的第几个数，从排列方式看第1排1个数，第2排2个数，……第m排m个数，所以前14排一共的数目是1+2+……+14=（1+14）+（2+13）+……+（7+8）=7×15=105，因此（15，7）是第105+7=112个数.第二看第112个数是哪个数，因为112/4商余0，所以（15，7）=.则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是×=2.

点评此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目找准变化规律是关键．

例3观察下图中每一个大三角形中白色的三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色的三角形有（）

考点规律型：图形的变化类．

分析分别数出第一、第二、第三个图中白色三角形的个数，总结出白色三角形的增长规律，即可推出第5个大三角形中白色的三角形的个数．

解答第一个图形的白色三角形个数为1，第二个图形的白色三角形个数为1+3，第三个图形的白色三角形个数为1+3+9，第四个图形的白色三角形个数为1+3+9+27=30+31+32+33，第五个图形的白色三角形个数为1+3+9+27+81=30+31+32+33+34=121．

故选D．

点评此题是一道规律探索题，解答此题要有以下步骤：

① 先数出白色三角形的个数；

② 探索出白色三角形的增长规律；

③ 根据规律解题．

例4（2009•中山）如图所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O．以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1；再以A1B1、A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线相交于点O1；再以O1B1、O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1…依此类推．

（1） 求矩形ABCD的面积；

（2）求第1个平行四边形OBB1C，第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积．

考点矩形的性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质．

分析（1） 直角三角形ABC中，有斜边的长，有直角边AB的长，BC的值可以通过勾股定理求得，有了矩形的长和宽，面积就能求出了．

（2） 不难得出OCB1B是个菱形．那么它的对角线垂直，它的面积=对角线积得一半，我们发现第一个平行四边形的对角线正好是原矩形的长和宽，那么第一个平行四边形的面积是原矩形的一半，依此类推第n个平行四边形的面积就应该是 ×原矩形的面积．由此可得出第2个和第6个平行四边形的面积．

解答（1）四边形ABCD是矩形，AC=20，AB=12

∠ABC=90°，BC=16

S矩形ABCD=AB•BC=12×16=192．

（2） OB∥B1C，OC∥BB1，四边形OBB1C是平行四边形．

四边形ABCD是矩形， OB=OC， 四边形OBB1C是菱形．

OB1BC，A1B= BC=8，OA1= OB1=6；

OB1=2OA1=12，S菱形OBB1C= BC•OB1=×16×12=96；

同理：四边形A1B1C1C是矩形，S矩形A1B1C1C=A1B1•B1C1=6×8=48；……

第n个平行四边形的面积是：S6=3．

“条条道路通罗马”.解答找规律这一类题的思路有许多条，这里只是把“常用”的解题思路做一个简单的总结.有兴趣的老师还可以从解方程组的角度、拉格郎日插值定理的角度、求函数解析式的角度进一步研究解决这一类问题的新途径.

针对性练习

1. 观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是.

2. 如图，一个数表有7行7列，设

aij表示第i行第j列上的数（其中i=1，2，3，...，j=1，2，3，...，）.

例如：第5行第3列上的数a=7.

则（1） a－a+a－a=.

（2） 此数表中的四个数aaaa满足

a－a+a－a=.

3． 观察下列各式：

1×2=1×2×3－0×1×2

2×3=2×3×4－1×2×3

3×4=3×4×5－2×3×4

……

计算：3×（1×2+2×3+3×4+…+99×100）=

A． 97×98×99 B．98×99×100

C． 99×100×101 D．100×101×102

4. 如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形ABCD；把正方形ABCD边长按原法延长一倍得到正方形ABCD（如图（2））；以此下去•••，

则正方形ABCD的面积为多少？

参考答案

1. 4n2. （1） 0（2） 03. C4. 625