在课堂上展现数学知识的形成与应用过程

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《数学课程标准》指出：数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理的证明，数学模型可以有效地描述自然现象；义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更要遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生在获得对数学理解的同时，思维能力、情感态度与价值观等多方面得到发展。本文就初中阶段数学建模思想渗透及数学建模过程、类型进行讨论。

一

建立数学模型是数学知识及数学方法的综合体现，是将现实领域中的实在问题加以提炼，经过抽象简化，明确变量和参数，并据探求变量各参数间的数学关系，从而将现实问题抽象为数学模型，再求出模型的解，验证模型的合理性，并用该模型所提供的解答思路解决现实问题。初中阶段数学建模类型主要有方程模型、不等式模型、几何模型、三角模型、直角坐标系模型、建立目标函数模型等。

数学模型的建立可从以下几个方面着手：①建模准备工作：充分了解所要建模的现实问题的实际背景，明确建模的实际意义和目的，深入细致调查，并用数学语言描述这一现象的现实问题。②对模型进行简化推理设想：根据所研究现实对象的本质特征和建模的目的性，对现实问题进行必要的简化，并做出大胆推理假设，注意假设应该符合本现实现象的实际背景。③对现实现象进行模型的建立：在推理假设的基础上，利用数学工具刻画各现实变量之间的数学关系，从而建立数学结构。④对所建立的模型求解：根据调查掌握的数据资料，利用已掌握的数学知识求解，也可以利用计算机对所给参数做出估算，求解有时还包括画图、列表。⑤对所建立的模型进行分析：对所得的解进行数学上的分析比较、讨论，如算法的科学性，精度影响等。根据计算结果对问题作出全方位解答。以此验证模型的准确性、合理性和适应性，若模型与实际相差太远，则应修改假设，再次建模。⑥对所建立的模型进行应用：把所得到的数学模型应用到现实问题中，应用方式因问题的性质和建模的目的而不同。

二

初中阶段对数学模型的建立有多种不同的类型，依照不同的现实问题可分为以下几种。

1.建立方程模型：对现实生活中广泛存在的等量关系，如增长率、储蓄利息、浓度配比、工程施工、人员调配、行程等问题，可列方程转化为方程求解问题。

例1：个人出版图书获得稿费的纳税计算办法是：稿费不高于800元的不纳税，高于800元但不高于4000元的应缴纳超过800元的那一部分稿费的14%的税；高于4000元的应缴纳全部稿费的11%的税。

①若某人获得一笔稿费后，缴纳462元的税，则这笔稿费是多少？

②若缴税为280元，这笔稿费是多少？

简析：本题可就稿费的数额与对应的税率建立表格体现它们的关系，再从中找出相等关系，建立方程求解。

2.建立不等式模型：在市场经营、生产决策和社会生活中，如估计生产数量，核定价格范围，盈亏平衡分析，投资决策等，可挖掘实际问题中隐含的数量关系，转化为不等式（组）的求解或目标函数在闭区间的最值问题。

6.建立目标函数模型：对于现实生活中普遍存在的最优化问题，如造价用料最少、利润产出最大等，可通过实际背景，建立变量之间的目标函数，转化为函数极值问题。

另外，数学建模的类型应以创新性、现实性、合理性、有效性等几个方面作为标准，使学生在解决现实问题的全过程中得到学数学、做数学、用数学的实际体验，亲身体会到数学探索的愉悦。