基于破解力学问题的模型法研究

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摘 要：物理模型法是抓主要的、本质的，在一定条件下，将主要问题突现出来作为“模型”进行研究的一种非常重要的方法。作为物理学分支的力学课题，可以按照其认知结构广泛运用客观模型、过程模型及数学模型进行研究，破解一些比较复杂的实际问题。

关键词：力学;物理模型;模型法

中图分类号：TP393 文献标识码：A 文章编号：1006-8937（2014）36-0062-02

由自然科学的特点可知，力学是工程技术的精髓。因此，力学问题既是工程技术的重点，也是难点。要解决这一难题，需要我们借助物理模型法予以破解。

1 物理模型的概念及类别

物理学探知物质世界的方法很多，如实验法、模型法、推理法、分析法、假设法、图象法、数学方法等。其中，物理模型法排除了实际物理现象或过程中的非本质因素的干扰，舍弃次要因素和无关因素，突出地反映客观事物本质特征，从而使物理现象和物理过程得到简化和理想化，对破解力学难题具有重要作用。所谓物理模型，就是抓住本质解决问题，对复杂变化的事物进行简化抽象后而建立的理想化模型。作为物理学分支的力学模型，是从复杂的物体运动中抓住共性，找出反映事物本质的主要因素，略去次要因素，经过简化，把作机械运动的实际物体和过程进行抽象的理想化模型。按照力学的认知结构，解决问题的第一步是选取研究对象;第二部是确定运动过程;第三部将运动过程与数学紧密联系起来，建立函数关系求解。依次形成三类模型：客体模型、过程模型和数学模型。

1.1 客体模型

力学研究的物体，是作机械运动的客观存在的实际物体，依据上述从具体事物的复杂现象中抓住共性，找出主要矛盾，略去次要因素的观点，我们可以将经过处理后作机械运动的具体物体抽象为力学模型，这种力学模型就是我们所称的客体模型。其关键词是抽象、去繁从简，如，力学中研究某些物体的运动时，如果物体本身的尺寸与所研究问题中的有关距离相比很小，又不要求涉及物体自身的转动等因素，就可忽略物体的大小和形状，突出物体的质量和位置，用一个有质量的点来代替整个物体，建立起“质点”模型;又如，将变形很小的物体抽象为刚体;再如，研究跳水运动员时可以将他看作质量全部集中在其重心的一个质点模型。

1.2 过程模型

所谓过程模型，是指把一个具体抽象的物理过程，还原成一个理想的便于研究的简单过程。建立过程模型的要点，是将实际物理运动过程进行处理，忽视次要因素，考虑主要因素;忽略个性，考虑共性，使之成为典型过程。如，若下落物体是一个不计质量大小的“质点”，且从静止开始下落，忽略空气阻力和浮力的作用，只受恒定的重力作用（由于运动范围不大，重力随高度变化可忽略不计），则这个物体在这样理想化的条件下的运动过程，就可称为自由落体运动过程模型。

1.3 数学模型

客观世界的一切规律原则上都可以在数学中找到它们的表现形式，力学研究客观世界时，通常采用抽象、概括的方法，将客观条件模型化，同时又离不开数学这个工具，需要将客体的属性及运动变化规律数学公式化，这就是本文所定义的数学模型。

2 模型法在基础力学中的应用

力学问题的解决，是指要弄清楚实际问题中的研究对象，它所处的运动状态，运动状态过程的变化特点和结果等方面的内容。在工程实际中，力学研究的机械运动复杂多样，变化万千，我们不可能一个一个地分别进行研究，需要我们按照以上所述的从具体事物的复杂现象中抓住共性，找出主要矛盾，略去次要因素，把作机械运动的具体物体抽象为一种力学模型。因此，运用力学知识解决具体问题的关键，就是要善于将问题中的实际物体（研究对象）和作机械运动过程抽象为怎样的力学模型。然后，通过转换的数学模型，运用数学方程求解，得到最后的结果。下面通过几个实例，分别侧重阐述客体模型、过程模型和数学模型的应用问题。

2.1 关于客体模型的应用

已知太阳光射到地面历时8 min20 s，试计算太阳的质量。

解析：本例的重点是客体模型的确定。由于本例涉及的太阳和地球本身的尺寸与地球绕太阳公转的距离相比甚小，又不涉及它们自身的转动问题。故可将太阳和地球均抽象为“质点”模型。按照建立力学模型的思想，将地球绕太阳的变速椭圆运动可看作“匀速圆周运动”，故设太阳和地球的质量分别为M和m，地球绕太阳旋转的周期为T，地心与太心的距离为R，由向心力与圆周运动的关系，可得：

所以，将发掘的隐含条件，找出已知条件代入上式计算，即可求解太阳的质量：

M=2.00×1030 kg

由上例可见，在一定的条件下，对涉及地球和太阳这样的“庞然大物”的运动问题，按抓主要矛盾的方法，可将其简化为质点，否则，很难求解。

将“庞然大物”简化为质点，与先验观念是相悖的。先验观念认为质点等同于“小物体”，“大物体”是不可以看成质点的。因此，正确建立客体模型，要克服只有“小物体”才可以简化为质点的模糊认识，因为，建立模型的手段是“近似”，但本质不是“近似”，而是“科学的抽象”。客体模型不是完全由研究对象自身的尺寸大小所决定的，它还与所处的环境，即它的运动、变化情况有密切关系，同是一个物体（不论尺寸大小、形状），有时可看作质点，有时则不行。如，研究地球公转时可抽象为质点，研究自转时就不可以。

2.2 关于过程模型的应用

一质量为60kg的学生参加跳绳活动。测定他每分钟跳绳150次，每次与地面接触时间2/5，则该生跳绳时克服重力做功的平均功率为（令g=10 m/s2）：

A.21.6 w B.108 w C.150 w D.200 w

解析：本例的重点是过程模型的建立，咋看难度很大，无从下手，但是我们把跳绳分解成脚脱离地面和脚接触地面两段过程，在跳离到落回地面这段时间里，由于速度小，阻力可忽略，且主要是身体上、下的平动，因此可以建立质点竖直上抛的过程模型。起跳时的动能可以根据竖直上抛运动求出，再求出平均跳一次的时间即可求出平均功率，解出本题的正确答案为B。

通过上例分析可知，过程模型的应用的关键是物理过程的分析及其处理。力学研究的是自然界中最普遍的机械运动，而运动对象自身及其运动变化的过程要受周围环境中诸多因素的影响和制约。在研究过程中，如果不加分析地把所有复杂因素考虑进来，就会增加研究的难度，甚至无法进行研究。因此，建立模型就要仔细分析研究对象的运动过程，充分考虑客观事物的本质属性，忽视次要的非本质属性，将复杂的事物或运动过程，用较简单客体模型和过程模型代替，进而解决实际问题。这种将复杂问题进行分解、简化、抽象成力学模型的方法，可以启发研究者突破思维障碍，解决极其复杂的问题。力学中解决实际问题大都使用了这种过程模型，使解决较复杂的实际问题简单化，去除不必要的麻烦，得到科学的答案。譬如，一个光滑的半圆形轨道，半径为R，圆心是O。如图1所示，两个相同的物体，一个放在圆心O处，一个放在离A点不远的B处。现同时从静止开始释放，问谁先到达A点。

分析：本例中从圆心释放的物体的运动过程很容易判断为自由落体运动;难点是从B处开始释放物体的运动过程的确定，一般很容易被看成圆周运动。仔细推敲：这里是轨道对物体产生指向圆心的支持力，这与一物体作单摆运动的受力及运动的情形完全一致，故其过程模型为单摆。建立了从B处开始释放物体的过程模型，问题就迎刃而解，从而得出从圆心释放物体先期到达A点的正确答案。可见，过程模型的正确运用可以突破较难的力学问题。

2.3 关于数学模型的应用

现沿如图2所示的水平面匀速拉动一物体，问怎样拉最省力。

解析：怎样拉最省力？关键是看其模型图3所示物体的受力情况，即看拉力F的方向，它与其运动方向的夹角有关。咋看似乎这个夹角a越小，沿运动方向的分力便越大，所以就越省力。但仔细分析，a夹角越小，F的竖直方向分量FY就会小，由N=mg-FY，可知正压力N就变大，从而由摩擦力f=？滋N，可知摩擦力也就较大。因此很难下结论说夹角越小越省力。要准确回答这个问题必须建立F与a间的函数关系，遵循函数与机械运动的关系，连续求导，建立数学模型，找出自变量a的值，得出最省力的F（a）的极小值。

①根据静力平衡方程，建立数学模型：

F=O，即Fcos a-？滋（mg-Fsin a）=0

②由F（a）的一阶导数并令其为零，建立新的数学方程：

即=tga，a=arctg？滋时，F（a）有极值

③令F（a）的二阶导数为零，再建数学方程：

所以，？滋=tga或a=arctg？滋是函数F（a）为极小值的条件，即满足时最省力。

3 模型法在天体力学中的应用

例如，天文学家预测银河系中可能存在一个巨大的黑洞，设距黑洞60亿 km的星体以2 000 km/s的速度绕其旋转，接近黑洞的所有物体即使速度等于光速也逃脱不了它的引力作用，试估算黑洞的半径。

解析：由力学发展史可知，力学的概念及其理论，大都源自对天体运动的探研，故天体力学问题，可以运用模型法进行研究。

①建立客体模型：黑洞及其饶它运动的星体

星体到黑洞的距离r=60亿km=6×1012 m，

星体速度V=2 000 km/s=2×106 m/s。

设星体和黑洞的质量分别为m和M，黑洞的半径为R。

②建立过程模型：将星体绕黑洞的运动似作圆周运动

③建立数学模型：万有引力定律

mGM/r2=mV2r

化简后，GM/r2=V2r（1）

④求黑洞表面物体的逃逸速度，继而求出黑洞半径。

地球上第一宇宙速度为7.8 km/s，逃逸速度是第一宇宙速度的倍。黑洞上第一宇宙速度为，则黑洞逃逸速度为。

设以光速C运动的物体刚好不能逃逸，则=C，即2 GM/R=C2（2）

将（1）代入（2）式，得 2v2r/R=c2，于是得黑洞半径：

参考文献：

[1] 上海市高等工业学校物理学编写组.普通物理学[M].上海：教育出版社，1978.

[2] 倪光炯，王炎森，钱景华，等.改变世界的物理学[M].上海：复旦大学出版社，1998.

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[5] 韩峰.物理模型浅说[J].济宁师范专科学校学报，2003，（6）.

[6] 翟秀莲.浅析如何用模型法解决物理问题[J].科协论坛，2011，（8）.