解决高考排列问题的“四项基本原则”

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“重复”或者“遗漏”是排列题目常出现的错误，原因是对题目条件的信息理解不透彻.本文结合近几年的高考题给出处理排列问题的“四项基本原则”，运用这些“原则”处理高考排列问题，可以取得思路清晰、解答准确的效果.不揣浅陋，就教于老师们.

1插空原则

对于要求某些元素不相邻的问题，可以将其它元素“安置”好，然后将被要求不相邻的元素进行“插空”.

例1（2013年全国大纲版）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.（用数字作答）.

解析除甲、乙外，其余四个人的排列有A44种.四个人排好后，他们之间有5个空位，只要把甲、乙插入其中两个空位即可，也就是从这5个位置中选两个给甲乙占有，考虑到顺序共有A25种排法.那么符合条件的排法有A44A25=480种.

评注从四个元素之间选择位置，保证了甲、乙两个元素不相邻要求的满足.

练习1（2010年北京）8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ ）

A.A88A29B.A88C29C.A88A27D.A88C27

答案A.

练习2（2008年浙江改编）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，这样的六位数的个数是 （用数字作答）.

答案144.

2优“限”原则

排列问题的要素有两个：一是元素，二是位置.对于有限制条件的元素或者位置，解答时应优先予以考虑.

例2（2016年四川）用数字1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）

A.24 B.48C.60D.72

解析1从有限制条件的元素看：题目要求排列的没有重复的五位数字是奇数，从元素的角度考虑，需要1，3，5这三个数字需要有一个数字排在个位上，除此之外对其他元素没有特殊要求，因此，我们可以先从1，3，5中选一个排在个位，其余的元素全排列即可，即有奇数A13A44=72，选D.

评注给每个有限制条件的元素找到合适的位置，问题也就解决了.

解析2从有限制条件的位置看：题目要求排列的没有重复的五位数字是奇数，从位置的角度考虑，需要个位上排一个奇数，其它位置没有特殊要求，因此，我们可以先从1，3，5中选一个排在个位上，其余的位置全排列即可，即有奇数A13A44=72，选D.

评注把所有有限制的位置安排完毕，问题也就得以解决了.值得说明的是，根据相对性，优先考虑限制位置和优先考虑限制元素在计算上可能相同，但从思考问题的角度却截然不同.

练习1（2009年北京）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）

A.324B.328C.360D.648

答案B.

练习2（2010年山东）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）

A.36种B.42种

C.48种D.54种

答案B.

3整体性原则

对于要求某些元素必须相邻，或者有顺序及间隔位置有要求的问题，可以进行整体考虑.

例3（2012年辽宁理科）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）

A.3×3！ B. 3×（3！）3

C.（3！）4 D. 9！

解析由于是每家人坐在一起，我们不妨把每家人看成一个整体，那三家人就是三个“大元素”，排列方法共有A33种，考虑到每家人之间的排列顺序都有A33种，则所有的坐法有A334=3！4，选C.

评注除了将每家人看成一个整体外，每家人内部的排列不能遗漏.

练习（2007年北京理科）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）

A.1440种B.960种

C.720种 D.480种

答案B.

4正难则反的原则

对于某些问题正面考虑比较复杂时，可以考虑排除不符合条件的“反面”的情况.

例4（2013年山东理科）用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）

A.243B.252C.261D.279

解析根据优“限”原则，十个数字取三个组成三位数有9×10×10=900个，而组成无重复数字的三位数共有A19A29个，所以十个数字可以组成有重复数字的三位数的个数为900-A19A29=252，选B.

评注如果此题从正面处理非常复杂，考虑其反面则变得简洁自然.正面信息或者限制条件越是复杂的问题，其反面问题往往越简单明了.这个原则在解答“至多、至少”这类问题时效果更明显.

练习1（2009年湖北）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）

A.18B.24C.30D.36

答案C.

练习2（2010年湖南理科）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ）

A.10 B.11C.12D.15

答案选B.