全等三角形新型问题

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找出图中所有的全等三角形并任选其中一对加以证明的问题和添加条件使图中存在全等三角形并加以证明的问题，是近年来的中考中出现的与全等三角形有关的两种新型问题. 这类问题重点考查同学们的探究能力. 解答它们，关键在于确定图中两个形状相同、大小接近的三角形，看看它们是否具备能够使它们全等的边角条件. 现举例介绍，供同学们参考.

一、找出图中的全等三角形的证明问题

例1 如图1，四边形ABCD中，ACBD于点O，且OB＝OD. 请问图中有多少对全等三角形？把它们都写出来，再任选其中的一对全等三角形加以证明.

解析：图中有三对形状相同、大小接近的三角形，它们都是全等三角形.

由“边角边”的条件，可推出AOB≌AOD；由“边角边”的条件，可推出COB≌COD；由“边边边”的条件，可推出ABC≌ADC.

现证明AOB≌AOD.

由ACBD于点O，得∠AOB＝∠AOD＝90°.

在AOB和AOD中，

OB＝OD，∠AOB＝∠AOD，OA＝OA，

AOB≌AOD（边边边）.

例2 如图2，ABC中，AB＝AC，过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G. 试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明.

解析：图中有五对形状相同、大小接近的三角形，它们都是全等三角形. 任选其中三对都可以.

由“角边角”的条件，可推出BCF≌CBD；由“角边角”的条件，可推出ABD≌ACF；由“角角边”的条件，可推出BFH≌CDH；由“角角边”的条件，可推出ACG≌ABE；由“角角边”的条件，可推出AGF≌AED.

现证明ABD≌ACF.

由AB＝AC，得∠ABC＝∠ACB. 由BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，得∠ABD＝ACB＝∠ACF.

在ABD和ACF中，

∠BAD＝∠CAF，∠ABD＝∠ACF，AB＝AC，

ABD≌ACF（角边角）.

二、添加条件的全等三角形的证明问题

例3 如图3，点E在AB上，AC＝AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明.

所添加条件为?摇?摇?摇?摇?摇 ?摇；你得到的一对全等三角形是?摇?摇?摇?摇?摇 ?摇≌?摇 ?摇?摇?摇?摇?摇.

解析：图中有三对形状相同、大小接近的三角形，它们分别是ACE和ADE、ACB和ADB、BCE和BDE，只要其中有一对三角形全等，那么另外两对三角形也一定全等.现仅考虑ACE和ADE这一对三角形的情况. 在这两个三角形中，不难发现，AC＝AD，AE＝AE，有两条边对应相等，要使这两个三角形全等，由“边角边”的条件，只需添加的条件为∠CAE＝∠DAE；由“边边边”的条件，只需添加的条件为CE＝DE. 现选择添加条件为∠CAE＝∠DAE，得到的一对全等三角形为ACE≌ADE. 证明如下：

在ACE和ADE中，

AC＝AD，∠CAE＝∠DAE，AE＝AE，

ACE≌ADE（边角边）.

例4 如图4，点C、D在线段AB上，且PC＝PD. 请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明.

所添加条件为?摇?摇?摇?摇?摇?摇；你得到的一对全等三角形是?摇?摇?摇?摇 ?摇?摇≌?摇 ?摇?摇?摇?摇?摇.

解析：图中有两对形状相同、大小接近的三角形，它们分别是ACP和BDP、ADP和BCP. 只要其中有一对三角形全等，那么另外一对三角形也一定全等. 现仅考虑ADP和BCP这一对三角形的情况. 在这两个三角形中，不难发现，PD＝PC，∠PDA＝∠PCB，有一条边和一个角对应相等，要使这两个三角形全等，由“边角边”的条件，只需添加的条件为AD＝BC；由“角角边”的条件，只需添加的条件为∠A＝∠B或PA＝PB；由“角边角”的条件，只需添加的条件为∠DPA＝∠CPB. 现选择添加条件为PA＝PB，得到的一对全等三角形为ADP≌BCP. 证明如下：

由PA＝PB，PC＝PD，得∠A＝∠B，∠PDA＝∠PCB.

在ADP和BCP中，

∠A＝∠B，∠PDA＝∠PCB，PD＝PC，

ADP≌BCP（角角边）.

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