浅谈导数在综合性问题中的应用

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函数的单调性有明显的图象特征，而导数表示曲线切线的斜率。因此导数的符号可以表明曲线变化的规律，用来判断单调性，解决不等式问题；不仅简单易行，更重要的是提供了一般性的方法导数作为解决数学问题的工具，在数学的各个领域，都应用导数知识来解答。本人就导数与不等式、最优化问题、方程的根以及在研究数列问题中的应用作一下粗略的解读，与大家共享。

例1 已知函数f（x）=lnx且a>b>c>e，则有（ ）。

（A）■>■>■ （B）■>■>■

（C）■>■>■ （D）■>■

解析：由答案的结构特征，构造函数g（x）=■。求导得g′（x）=■，　x>e，　g′（x）e，时，函数g（x）=■为减函数。

当a>b>c>e时，有■>■>■。故选B。

例2 当x>0时，证明：x-■

证明：①先证x-■0，　f1（x）在（0，+∞）上为增函数。又　f1（x）=0，　在x>0时，有f1（x）>0，

即有ln（1+x）-x+■>0，　x-■

②再证（1+x）0，　f2（x）在（0，+∞）上为增函数。又　f2（x）=0，　在x>0时，有f2（x）>0，即有x-ln（1+x）>0，　ln（1+x）

由①②知，当x>0时，x-■

小结：要在某区间上证明g（x）>h（x），可以构造辅助函数f（x）=g（x）-h（x），然后求导函数f　′（x）的符号判定为增函数；再用增函数证得所给区间上有f（x）>0，从而得在这个区间上有g（x）>f（x）。

例3 某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R（x）=3700x+45x2-10x3（单位：万元），成本函数为C（x）=460x+5000（单位：万元）。又在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）=f（x+1）-f（x）。

（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）（提示：利润=产值-成本）；

（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司的年利润最大？

（3）求边际利润函数MP（x）的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

解析：（1）P（x）=R（x）-C（x）=-10x0+45x2+3240x-5000（x∈N*，且1≤x≤20），MP（x）=f（x+1）-f（x）=-30x2+60x+3275　（x∈N*，且1≤x≤20）。

（2）P′（x）=-30x2+30x+3240=-30（x-12）（x+9）。

x>0，　当P′（x）=0，时，x=12，当012时，P′（x）

x=12时，P（x）有最大值，即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大。

（3）MP（x）=f（x+1）-f（x）=-30x2+60x+3275=

-30（x-1）2+3305，所以，当x≥1时，MP（x）单调递减，所以单调递减区间为［1，19］，且x∈N*。MP（x）是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘船的利润比较，利润在减少。

小结：这类问题的难点在于怎样建立数学模型，确定目标函数关系式。化解的基本方法是把“问题情境”转译成数学语言，找出问题的主要关系，建立目标函数，导数是求解其最值得一种有效工具。

例4 已知函数f（x）=2aln（1+x）-x（a>0）。

（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）求证：4lge+■+■+…+■>lge■（n+1）（n∈N*）。

解：（Ⅰ）定义域为（-1，+∞），f′（x）=■-1。

令f′（x）>0？圯-1

故f（x）的增区间为（-1，2a-1），f（x）的减区间为（2a-1，+∞），f（x）的极大值为2aln2a-2a+1。

（Ⅱ）证明：要证4lge+■+…+■>lge■（n+1），

即证1+■+…+■+3>ln（n+1）+（1+■）n。

令a=■，由（Ⅰ）可知，f（x）在（0，+∞）上递减，故f（x）

故1+■+…+■+3>ln（n+1）+（1+■）n。

小结：化解这类不等式的难点的方法是根据所要证明的不等式的特点和函数联系起来，再通过研究这个函数得到需要的不等式；或是对所证得目标不等式进行变换，通过研究所得函数得到经过变换的不等式。

（作者单位：贵州省剑河民族中学）