中考图象信息题的分析

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图象信息题是由图象提供数据信息，要求学生通过读图，理解图象反映的多个变量之间的关系，再综合运用有关知识来解决实际问题的一种题型.由于题源广泛，蕴含信息丰富，因此近几年在各地中考试卷中频繁出现.解图象信息题的关键是“识图”和“用图”，一般的解题步骤是：①观察图象，获取有效信息；②对已获得的信息进行加工整理，理清各变量之间的关系；③选取适当的数学方法，通过合理建模解决实际问题.本文就近几年中考中的图象信息题作一简要的分析.

一、 符号判断型

例1：已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：

（1） 4a+2b+c＞0；

（2） 方程ax2+bx+c=0两根之和小于零；

（3） 4a-2b+c＜0；

（4） b2-4ac＜0

（5） 一次函数y=x+bc的图象一定不过第二象限．

其中正确的个数是（ ）

A. 4个 B. 3个

C. 2个 D. 1个

考点 二次函数图象与系数的关系.

分析 （1）由图象可知x=2对应的抛物线上的点在x轴上方，则对应的函数值大于0；

（2）由根与系数的关系知两根之和为-，根据抛物线的对称轴在y轴右边，可得-＞0，从而得到两根之和大于0；（3） 由对称性可知抛物线与x轴的左交点到对称轴的距离小于2，则x=-2时对应的函数值大于0；（4） 根据抛物线与x轴有两个交点，可知y=0时对应的方程有两个不相等的实数根，即根的判别式大于0；（5） 由a的符号及对称轴在y轴的右侧判断出b的符号，再由抛物线与y轴的交点在y轴负半轴判断出c的符号，进而得出bc的符号，根据一次函数的图象与性质可得出y=x+bc经过第一、二、三象限.

答案 D

点评 此题考查了二次函数的图象与系数的关系、图象的增减性以及二次函数与方程之间的关系，利用了数形结合的思想.此类题涉及的知识面比较广，能正确观察图象是解本题的关键.

二、 规律探究型

例2 如图，直线y=x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x的垂线交直线于点B1B，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A5的坐标为（ ， ）.

考点 结合图象进行规律探究.

分析 求点A5的坐标，即求OA5的长度.由B1，B2，B3在直线y=x上，求出各点坐标，结合勾股定理或三角函数可求得线段OB1、OB2、OB3的长度，由半径相等得到OA5=OB4，可求出OA5的长度，得到A5点的坐标.

答案 A5点的坐标为（16，0）

点评 本题结合图象利用一次函数关系式和勾股定理或三角函数求出OB1，OB2、OB3、OB4的长度，再递推点的坐标，得到An的坐标（2n－1，0）.本类题需要学生根据图象提供的信息从第一点开始顺次写出几点的坐标，再从中找出一般规律.

三、 函数建模型

例3 如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示.根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1） 图2中折线ABC表示 槽中水的深度与注水时间的关系，线段DE表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点B的纵坐标表示的实际意义是

；

（2） 注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？

（3） 若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积；

（4） 若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，求甲槽底面积（壁厚不计）．（直接写出结果）

考点 一次函数，圆柱体体积.

分析 （1） 折线ABC表示乙槽中水的深度与注水时间的关系；线段DE表示甲槽中水的深度与注水时间的关系；点B的纵坐标表示槽中水的深度14厘米，实际意义是铁块的高度为14cm；（2） 线段DE与线段AB交点的横坐标即为所求，故求出线段DE与线段AB的函数关系式，联立方程组求解即可；（3） 要求乙槽中铁块的体积，可利用图上乙槽前4分钟注入水的体积是后2分钟2倍这一条件，求出乙槽底面积与铁块底面积之差，再求乙槽中铁块的体积；（4） 设甲槽底面积为scm2，根据乙槽的底面积-乙槽空余部分的底面积=铁块的底面积可求出甲槽底面积.

答案 （1） 乙，甲，铁块的高度为14cm；（2） 注水2分钟时，甲、乙两水槽中水的深度相同；（3） 铁块的体积为84cm3；（4） 甲槽底面积为60cm3.

点评 本类题考查了图象信息与数学建模，要求读懂图象，从图象中找信息，学会看图、析图，找出隐含信息，列出各变量之间的关系，从而寻求解决问题的途径，体现了数学与实际问题的联系.

四、 统计信息型

例4 某中学学生为了解该校学生喜欢球类活动的情况，随机抽取了若干名学生进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的球类），并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图.

请根据图中提供的信息，解答下面的问题：

（1） 参加调查的学生共有 人，在扇形图中，表示“其他球类”的扇形的圆心角为 度；

（2） 将条形图补充完整；

（3） 若该校有2000名学生，则估计喜欢“篮球”的学生共有 人.

考点 扇形统计图，条形统计图，频率，频数.

分析 （1） 从图中知：喜欢乒乓球的有60人，占20%，从而可求出参加调查的学生数；喜欢其他球类的有30人，占30÷300＝10%，可求表示“其他球类”的扇形的圆心角的度数；

（2） 由（1）参加调查学生的总数减去另外各项就可得喜欢足球的人数，将条形图补充完整.

（3） 先求出在参加调查的学生中喜欢篮球的人占参加调查的学生的百分比就能估计出全校喜欢“篮球”的学生人数.

答案 （1） 300,36；（2） 喜欢足球的有90人，补充条形图略；（3） 800人.

点评 本题是一道利用统计知识解答实际问题的重点考题，计算量略大，难度中等.主要考查利用统计图表，处理数据的能力和利用样本估计总体的思想.解答这类题目，观察图表要细致，对应的图例及其关系不能错位，计算要认真准确.

五、 学科综合型

例5 小强在一次投篮训练中，从距地面高1.55米处的O点投出一球向篮圈中心A点投去，球的飞行路线为抛物线，当球达到离地面最大高度3.55米时，球移动的水平距离为2米.现以O点为坐标原点，建立直角坐标系（如图所示），测得OA与水平方向OC的夹角为30°，A、C两点相距1.5米.

（1） 求点A的坐标；

（2） 求篮球飞行路线所在抛物线的解析式；

（3） 判断小强这一投能否把球从O点直接投入篮圈A点（排除篮板球），如果能，请说明理由；如果不能，那么前后移动多少米，就能使刚才那一投直接命中篮圈A点了.（结果可保留根号）

考点 二次函数的应用.

分析 （1） 观察图象，利用直角三角形的边角关系得到OC的长，可以确定点A的坐标；

（2） 根据球到达的最大高度和移动的水平距离确定抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，然后把O（0，0）代入顶点式，求出抛物线的解析式；

（3） 把点A的坐标代入抛物线的解析式，发现抛物线的两边不等，说明点A不在抛物线上，那么小强不能从O点把球投入．把y=1.5代入抛物线求出x的值，得到小强后退的距离.

答案 （1） 点A的坐标为（，1.5）；

（2） 抛物线的解析式为y=－（x－2）+2；

（3） ① 小强这一投不能把球从O点直接投入球篮；

② 小强只需向后退（3－）米，就能使刚才那一投直接命中球篮A点了.

点评 本题与体育项目有关，考查了二次函数的实际应用，学生要了解篮球的相关知识，并分析图象提供的信息，运用抛物线与方程的知识去解决问题.本类题需要学生掌握相关学科的有关知识，结合图象能灵活运用所学知识解决实际问题.

巩固练习

1. （2011年・菏泽）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列6个结论：

① abc＞0；② b2-4ac＞0；③ 4a+2b+c＞0； ④ b＜a+c；⑤ 2c＜3b；⑥ 当x＞1时，y随x的增大而增大．其中正确的结论有（ ）个.

A.?摇1 B. 2

C. 3 D.?摇4

2. （2011年・安顺）一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动［即（0，0）（0，1）（1，1）（1，0）…］，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ）.

A. （4，0） B. （5，0）

C. （0，5） D. （5，5）

3. （2011年・咸宁）在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为y、y（km），y、y与x的函数关系如图所示.

（1） 填空：A、C两港口间的距离为 km，a= ；

（2） 求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；

（3） 若两船的距离不超过10 km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围.

4. （2011年・丽水）小明家使用的是分时电表，按平时段（6：00－22：00）和谷时段（22：00－次日6：00）分别计费，平时段每度电价为0.61元，谷时段每度电价为0.30元，小明将家里2005年1月至5月的平时段和谷时段的用电量分别用折线图表示（如图7），同时将前4个月的用电量和相应电费制成表格（如表1）

根据上述信息，解答下列问题：

（1） 计算5月份的用电量和相应电费，将所得结果填入表1中；

（2） 小明家这5个月的月平均用电量呈

趋势（选择“上升”或“下降”）；这5个月每月电费呈 趋势（选择“上升”或“下降”）；

（3） 小明预计7月份家中用电量很大，估计7月份用电量可达500度，相应电费将达243元，请你根据小明的估计，计算出7月份小明家平时段用电量和谷时段用电量.

5. （2011年・茂名）某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同.他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：

（1） 第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的？ 它的体温从最低上升到最高需要 多少时间？

（2） 第三天12时这头骆驼的体温是多少？

（3） 兴趣小组又在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式.

答案 1. C 2. B 3. （1） 120，a=2；

（2） 点P的坐标为（1，30）；该点坐标的意义为：两船出发1h后，甲船追上乙船，此时两船离B港的距离为30 km；

（3） 当≤x≤时，甲、乙两船可以相互望见.

4. （1）110，46.95；（2）小明家这5个月的月平均用电量呈上升趋势；这5个月每月电费呈下降趋势；（3）平时段300度，谷时用200度.

5. （1） 第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的；它的体温从最低上升到最高需要12小时；（2） 第三天12时这头骆驼的体温是39℃；

（3） y=－x+2x+24（10≤x≤22）.