浅谈方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的教与学

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摘要：本文主要研究方程x2+y2+dx+ey+f=0的几何意义及运用，在此基础上拓宽方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的应用，以此提升学生学习数学兴趣。

关键词：几何意义；判定；运用；拓宽；应用

方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D，E，F均为常数）是一个二元二次方程，它所表示的几何意义，及如何恰到好处地使用此方程，在教学中使受众产生兴趣，是数学教学中教与学的关键，为此本文将从三个方面阐述如下。

一、方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D，E，F均为常数）几何意义

首先对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D，E，F均为常数）特点进行分析，这个方程x2，y2系数相等，是一个二元二次方程，且没有xy项。给方程配方得x+D22+y+E22=D2+E2-4F4，并与圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2比较，可得x2+y2+Dx+Ey+F=0在D2+E2-4F>0时，表示的几何意义为圆，圆心坐标为-D2，-E2，半径为r=D2+E2-4F2。称方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D，E，F均为常数）为圆的一般方程。

方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在D2+E2-4F=0时，只表示点，这个点在平面直角坐标系中的位置是点-D2，-E2。

方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在D2+E2-4F

二、方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D，E，F均为常数）几何意义的判定与运用

x2+y2+Dx+Ey+F=0（D，E，F均为常数）几何意义有三种情况，如何判定它的几何意义，基础差的学生用配方方法有一定难度。如果用公式，半径r=D2+E2-4F2，圆心坐标-D2，-E2，这样问题简单了许多，但要注意方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的D，E，F的符号。

例如，判断方程x2+y2+4x-6y-3=0是否为圆的方程，如果是，求出圆心的坐标和半径。

解法1：将原方程配方x2+4x+22-22+y2-6y+32-32=0，即（x+2）2+（y-3）2=42，所以方程表示圆心为（-2，3），半径r=4的一个圆。

解法2：与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0相比较，可知D=4，E=-6，F=-3，所以D2+E2-4F=16+36+12=64>0，根据公式r=D2+E2-4F2=4，圆心坐标为-D2，-E2=（-2，3）。这是一个配方较为容易的例子，上述两种方法都可以。再看下面的例子。例如求方程x2+y2+56x-23y+14=0的半径和圆心坐标。用解法2，可得D=56，E=-23，F=14，D2+E2-4F=536>0，根据公式得r=D2+E2-4F2=512，圆心为-D2，-E2=-512，13，如果用第一种方法难度就大了，用解法2使复杂问题简单化了，也提升了学生的自信，近而对数学产生兴趣。如果不表示任何图形和点的情况也是用这种判定方法比较好，当然如果数较小，也可采用配方方法。例如①x2+y2+4x-6y+15=0，②x2+y2+6x-2y-8=0，③x2+y2+2x-4y-5=0这三个方程这两种方法都行，①②经计算D2+E2-4F

三、方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D，E，F均为常数）其它应用

以上我们研究了x2+y2+Dx+Ey+F=0的几何意义，重点是研究当D2+E2-4F>0的条件下，作为圆的一般方程时的应用；还一个应用是圆的一般方程与标准方程互化问题，即把标准方程化成一般方程，只需把圆的标准方程展开，将方程的两端式子都移到左端，合并同类项，标准方程就变成了圆的一般方程；另外一个运用是待定系数法求圆的一般方程，即已知圆上三个点坐标，求圆的方程；最后一个应用就是求与圆有关点的轨迹。前两个应用前面已提过，这里就不再举例。后两个应用举例如下。

例如求过点A（0，5）、B（1，-2）、C（-3，-4）圆的方程。解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，D，E，F为待定系数。因为A、B、C三点在圆上，所以它们的坐标即为方程的解，代入得5E+F+25=0D-2E+F=-53D+4E-F-25=0 解得D=6E=-2F=-15 于是所求圆的方程为 x2+y2+6x-2y-15=0。当然此题也可设圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，解后分别求出a、b、r，这样会麻烦得多。这是用待定系数法求圆的一般方程。

例如，已知一曲线是与定点O（0，0）、A（3，0）的距离比是12点的轨迹，求此曲线的方程。是什么样的曲线？

解：设点M（x，y）是曲线上的任意一点，所以OMAM=12，由两点间的距离公式得x2+y2（x-3）2+y2=12，整理得 x2+y2+2x-3=0 ，配方得（x+1）2+y2=4，所以此曲线为圆，圆心坐标为（-1，0），半径为r=2。再如已知线段AB的端点B（4，3），端点A在圆上（x+1）2+y2=4运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。也用到了圆的一般方程的知识点。当然只要圆的一般方程的知识点扎实，这些应用也不成问题，这就看老师的教和学生的学。教师教的要有重点，讲述的要透彻，学生易于理解，即有深度还要有宽度；学生学的要有兴趣，理解的要深刻，并在每种应用上做相应的练习，这样才能把知识变成学生的能力，近而掌握这些知识点。

总之本文主要研究方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的几何意义，及方程几何意义的判定与运用，在此基础上拓宽方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的应用，教学中只有老师有效利用多种方法化解难点，学生才能提升兴趣，近而把知识变成能力。（作者单位：辽宁轨道交通职业学院）