解题需要化归思想

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把一个陌生的、复杂的问题转化为我们熟悉的、已经解决的问题，这就是化归思想.化归思想在解中考题中非常重要，主要表现在：

一、化陌生为熟悉

例1 （2012年深圳卷）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图1.此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米.已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）.

A.（6+）米

B. 12米

C.（4+2）米

D. 10米

分析：利用影长求物高是常见的问题，若影长在同一平地上，则可利用“在同一时刻，物高与影长成比例”求解.这里的影长一部分在平地上，一部分在斜坡上，因此，应把斜坡上的影长化归为平地上的影长，如图2，延长BD、CE，相交于点A，过点D作DFAE，垂足为点F.在RtDEF中，DE=4，∠DEF=30°，则DF=2，EF=2.根据同一时刻，标杆与影长的比值为定值，可得=，解得AF=4，所以AC=CE+EF+AF=8+2+4=12+2，由=，解得BC=6+.选A.

温馨小提示：化陌生为熟悉是化归思想最常见的应用，掌握基本题型及其解法，并不断积累经验.对于非直角三角形问题，通过作高，化归为直角三角形问题加以解决.

二、化积商为和差

例2 （2012年内江卷）已知三个数x、y、z满足=-2，=，=-，则的值为 .

分析：求值式和三个已知等式都是关于x、y、z商的形式，若能化为和差形式，可简化计算.取倒数，它们可分别变形为：

=++（1）

=+=-（2）

=+=（3）

=+=-（4）

[（2）+（3）+（4）]÷2，得

++=（-+-）÷2=-，

即=-，因此，=-4.

温馨小提示：求和差总比求积商简单得多，因此，积商问题常常化归为和差问题来解决.

三、化无形为有形

例3 （2012年遵义卷）如图3，半径为1cm、圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）.

A.πcm2 B.πcm2 C.cm2 D.cm2

分析：设以OA、OB为直径的半圆相交于点C，则点C是AB的中点.于是弓形AC和弓形BC的面积与弓形OC的面积相等，因此，阴影部分的面积等于直角三角形OAB的面积=.选C.

温馨小提示：求阴影部分面积是中考常见题.阴影部分一般是不规则的，求解时常需要添加辅助线进行割补，将不规则图形化为规则图形来求解.

四、化特例为一般

例4 （2012年宿迁卷）按如图4所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是 .

分析：按照图案序号一个个地数黑色小正方形的个数显然是不合理的.把问题化归为寻找黑色小正方形的个数Pn与图案序号n的关系.当n=1时，P1=1；当n=2时，P2=5；当n=3时，P3=13，….观察Pn与n的关系，可以发现：P2=5=P1+4=1+4（2-1），P3=13=P2+8=1+4（2-1）+4（3-1），由此可以猜想：Pn=1+4（2-1）+4（3-1）+…+4（n-1）=1+4×1+4×2+4×3+…+4（n-1）=1+4[1+2+3+…+（n-1）]=1+2n（n-1），故当n=14时，P14=1+2×14×13=365.

温馨小提示：规律探索是中考常见题.从题目给出的若干个特例，利用不完全归纳法猜想其一般情形，再把所得到的一般规律应用到特例中去，体现了化归思想.

五、化空间为平面

例5 （2012年青岛卷）如图5，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.

分析：将杯子侧面沿过点A、C的母线剖开成两半，再把其中一半展开成平面（如图6）.如何在杯口边沿直线EG上求一点F，使得AF+FC最短？作点A关于直线EG的对称点A′，连接A′C，交EG于F，则AF+FC为最短距离，等于A′C.在直角三角形A′CD中，A′D=9，CD=12，由勾股定理，得A′C==15（cm），故填15.

温馨小提示：几何体的最短路线问题，其解决的方法大多是把立体图形展开成平面图形，把空间问题化归为平面问题.此时要注意展开前后的对应点、对应线段之间的关系.