分类讨论在初中数学学习中的应用

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摘 要：分类思想是初中数学中一种非常重要而且常见的思想。在近几年的中考试题中，常常利用分类讨论来加大试卷的区分度。因此，从分类讨论的不同类型和考点题型入手，阐述在初中数学解题中运用分类讨论思想的方法。

关键词：初中数学；分类讨论；新课程

分类讨论思想是初中数学中一种非常重要而且常见的思想。在每年的中考试题中，常常利用分类讨论来加大试卷的区分度。而且分类讨论思想与新课程改革中提出的培养学生的创新精神与探索精神是一致的。因此使学生形成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧以及常见题型的分类方法，形成一定的分类体系非常必要。

在数学中，把问题划分为若干情况，然后逐一求解的过程叫作分类讨论，也称分情况讨论。解答分类讨论问题的步骤是：首先，确定讨论对象以及所讨论的对象的全体范围；其次，确定分类标准，正确进行合理分类，再对所分情况进行求解，获取阶段性结果；最后，进行归纳小结，综合得出结论。

现在，把初中数学教学中分类讨论的类型归纳如下：

一、由问题中分类定义的概念和性质而引起的分类讨论

例1.若a，b为非零实数，代数式++的所有可能的值有（ ）

A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个

解析：根据题意，按a，b的符号，分4种情况讨论；每种情况下，利用绝对值的性质去掉绝对值，求出代数式的值；然后综合几个结果，得出结论。

解：根据题意，按a，b的符号，分4种情况讨论：

①a>0，b>0时，原式++=1+1+1=3；②a>0，b

二、由问题中参数的不同取值引起的分类讨论

例2.已知关于x的方程（k2-1）x2-2（k+1）x+1=0有实数根，求k的取值范围。

解析：因为k出现了二次项系数，所以当k2-1=0时，-2（k+1）≠0此方程为一元一次方程，一定有实数根。当k2-1≠0时，此方程是一元二次方程，方程有实数根，根据根的判别式Δ≥0求k的取值范围，因此分两种情况进行讨论。

解：（1）k2-1=0，-2（k+1）≠0即k=1时，为一元一次方程，一定有实数根；

（2）k2-1≠0，即k≠±1时，此方程为一元二次方程；Δ=[-2（k+1）]2-4（k2-1）≥0，解得k≥-1。综上可得k>-1。

三、由于问题中不确定的图形位置或形状，不确定对应关系的全等或相似引起的分类讨论

例3.在RtABC中，AB=6，BC=8，则这个三角形的外接圆直径是（ ）

A.5 B.10 C.5或4 D.10或8

解析：这个三角形的外接圆直径是斜边长有两种情况：斜边是BC，或斜边是AC。

解：根据题意得：（1）斜边是BC，即外接圆的直径是8；（2）斜边是AC，即外接圆的直径是=10。综上所述，三角形的外接圆直径为8和10。故选D。

总之，初中数学中的分类讨论是一种重要的数学思想，有利于增强学生思维的条理性、缜密性和科学性。教师在教学中结合教材，创设情境，强化需要区分情况进行讨论的问题，启发学生积极思维，从而培养学生自觉应用分类讨论的意识。通过在教学中着重渗透数学思想方法的学习，相信学生在认知层次上会得到极大地提高，从而收到事半功倍的效果。