光栅的分辨本领与角半宽度

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理想情况下光栅的色分辨本领为：

R=kN。（1）

即光栅的色分辨本领随光谱的级次的增加而增大。而光栅衍射中第k级主极大的角半宽度为：

(2)

当衍射角θ增大时，角半宽度Δθ变宽。由光栅方程d1sinθ=kλ可知，衍射角θ随级次k增加而增大，因此对应较宽的半角宽度，按理应使相邻色光更易重叠，也就是说色分辨本领似乎因k的增加而变小，这与(1)式似乎相互矛盾。那么半角宽度增大是否会影响光栅的分辨本领呢?下面就光栅的分辨本领和角半宽度与k的关系进行讨论。

1主最大的角半宽度的值

多光束干涉原理可知，若光栅狭缝数为N，光强为：

(3)

当v=kπ时产生干涉最大，光强为N2a2，即在满足下式的θ方向上应有与主最大对应的亮条纹出现：

(4)

当v=k′πN，而k′≠N,2N,3N时，则光强为零。即在满足下式的θ方向上光强为零：

(5)

所以第k级主最大满足：

(6)

最靠近它的最小级数k′应为：k′=kN+1。按(3)式该最小所在方向(θk+Δθ)满足

(7)

(6)(7)两式相减，且

图1表示第k级主最大和最靠近它的最小的级数k′的衍射角及角半宽。从Δθ的表达式看，光栅上狭缝的总数目愈大，则所得各级主最大愈细，若光栅上的狭缝数不变，则当衍射角θk增大时，cosθk减小则半角宽度Δθ增大。

图1：G为光栅、P为屏、θk第k级主最大衍射角、Δθ第k级主最大和相邻最小的角半宽

2光栅的分辨本领

若以瑞利判据作为分辨的标准，主最大的半角Δθ就是光栅的最小分辨角。那么对应Δθ的两谱线的波长差Δλ，即光栅所能分辨的最靠近的两个光谱线的波长差代替光栅的最小分辨角。由光栅公式(4)式求微分得dλdθ=d1cosθk。(8)

所以最小分辨角Δθ对应的两谱线的波长差Δλ为：

分辨率P=λΔλ=kN。

3角半宽度与角色散率

从角色散率dλdθ=d1cosθk可知，光栅常数d1愈小，角色散率愈小，高级次的光谱的角色散较小，反之角色散的倒dθdλ是随级次k增大而增大愈大。即角度差1单位的两谱线的波长差随级次的增大而增大。

角半宽度Δθ为k级主极大的半宽度，由(2)式知，当k增大时，由于θ增大，cosθ减小，所以Δθ增大。而分辨本领是角色散的倒数和角半宽度的倒数乘积再乘λ，即：

(9)

因此由(9)式可知，此时己与cosθ无关，所以角半宽度的增大并不影响光栅的分辨本领。

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