构造方差代换 巧解范围问题

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中学数学中的方差公式在数学解题中有着极其广阔的应用价值，然而由于统计初步列入中学数学时间不长，因而有关方差公式在数学解题中的应用资料甚少.为延伸教材内容、紧跟素质教育和新课程改革的步伐，下面我们以部分竞赛题为例，将方差公式在求代数式的取值范围问题中的应用举例介绍如下，供中学师生参考.

1 方差公式引理

如果为一组数据x1，x2，…，xn的平均数，S2为这组数据的方差，则有

S2=1n[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]=1n[（x21+x22+…+x2n）-n2]=1n（ni=1x2i-n2）.

2 典型例题解析

例1 （1993年全国高中数学联赛题）实数x，y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，求S的取值范围.

解 设x2+y2=t，视x，y为一组数据，则由方差公式得S2=12[（x2+y2）-2（x+y2）2]=12[（x2+y2）-x2+2xy+y22]=x2+y2-2xy4=t-2xy4.①因为4x2-5xy+4y2=5，所以5xy=4（x2+y2）-5，所以xy=45（x2+y2）-1=45t-1，代入①中，得S2=t-85t+24=-3t+1020≥0.所以3t-10≤0，t≤103，即Smax=103.所以由4x2-5xy+4y2=5得（2x-2y）2=5-3xy≥0及（2x+2y）2=5+13xy≥0，所以xy≥-513，所以S=x2+y2=54（1+xy），S≥54（1-513）=1013，所以Smin=1013，所以S的取值范围为：

1013≤S≤103.

例2 （2001年全国初中数学竞赛试题）已知实数a，b满足a2+ab+b2=1，且t=ab-a2-b2，那么t的取值范围是 .

解 将a2+ab+b2=1，t=ab-a2-b2，两式相加可得ab=1+t2.故由

（a+b）2=（a2-ab+b2）+3ab=-t+3×t+12=t+32≥0，可知t≥-3.视a，b为一组数据，则由方差公式得S2=12[a2+b2-2（a+b2）2]=14[（a2-ab+b2）-ab]=

14（-t-t+12）=-3t+18≥0，于是3t+1≤0，即t≤-13，故t的取值范围为：-3≤t≤-13.

例3 （2008年天津市初中数学竞赛初赛试题）已知a，b为实数，且a2+ab+b2=3，设S=a2-ab+b2，求S的取值范围.

解 设a2-ab+b2=t，由于a2+ab+b2=3，则ab=3-t2.于是（a+b）2=（a2-ab-b2）+3ab=t+3×3-t2=9-t2≥0，解得t≤9，视a，b为一组数据，则由方差公式得S2=12[a2+b2-2×（a+b2）2]=14[（a2-ab+b2）-ab]

=14（t-3-t2）=3t-38≥0，于是t≥1，故1≤t≤9.从而1≤a2-ab+b2≤9.

例4 （2004年“信利杯”全国初中数学竞赛试题）实数x，y，z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，求z的取值范围.

解 由x+y+z=5，xy+yz+zx=3可得x+y=5-z，因此

x2+y2

=（x+y）2-2xy=（5-z）2-2（3-yz-zx）=（5-z）2-2[3-z（5-z）]=-z2+19.

视x，y为一组数据，则由方差公式得S2=12[x2+y2-2（x+y2）2]=14[-z2+19-2（5-z2）2]=

-14（3z2-10z-13）.

由S2≥0，可知3z2-10z-13≤0，解得-1≤z≤133，这就是z的取值范围.

例5 （2003年全国初中数学联赛试题）已知实数x，y满足x+y=3a-1

x2+y2=4a2-2a+2，求a的取值范围.

解 视x，y为一组数据，则由方差公式得S2=12[x2+y2-12（x+y）2]=

-14a2+12a+34≥0，即（a+1）（a-3）≤0，解得-1≤a≤3.

例6 （第七届美国中学生数学竞赛题）设实数a，b，c，d，e适合a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，求e的取值范围.

解 因为a+b+c+d+e=8，所以a+b+c+d=8-e，因为a2+b2+c2+d2+e2=16，

所以a2+b2+c2+d2=16-e2，视a、b、c、d为一组数据，则由方差公式，得

S2=14[（a2+b2+c2+d2）-4（a+b+c+d4）2]=14[（16-e2）-14（8-e）2]=14（-54e2+4e）=-516e（e-165）≥0，所以0≤e≤165，这就是e的取值范围.

例7 （2013年江西省高中数学联赛试题）函数y=3x-6+3-x的取值范围是

.

解 令a=3-x，b=3x-63，则y=a+3b，易知1个a与3个b的平均数为y4.所以1个a与3个b的方差S2=14（a-y4）2+34（b-y4）2=y216-（a+3b）y8+a2+3b24，因为y=a+3b，所以S2=a2+3b24-y216=a2+3b24-（a+3b）216=3（a-b）216.（*）因为S2≥0，所以y216≤a2+3b24=14[（3-x）+3×3x-69]=14，即y2≤4，当且仅当a=b=y4，即x=114时，y有最大值2，又因为a-b=3-x-3x-63在[2，3]上递减，所以a-b≤1，则由（*）式，知S2≤316，即y216≥a2+3b24-316=14-316=116，当且仅当x=2时，y有最小值1.所以函数f（x）=3x-6+3-x的值域是[1，2]，所以1≤f（x）≤2.即f（x）的取值范围.

例8 （吉林省高中数学竞赛题）设实数a、b、c满足a2-bc-8a+7=0，（1）

b2+c2+bc-6a+6=0.（2）则a的取值范围是 .

解 （1）+（2），得b2+c2=-a2+14a-13.（2）-（1），得（b+c）2=（a-1）2.视b、c为一组数据，则由方差公式，得实数b、c的方差为

S2=12[（b2+c2）-12（b+c）2]

=-34（a2-10a+9）.

而S2≥0，所以a2-10a+9≤0，即1≤a≤9.这就是所求a的取值范围.

综上所述可知：应用方差公式解取值范围的竞赛题，其关键在于根据题设，寻找出一组数据，再运用方差公式写出S2=1n[（x21+x22+…+x2n）-n2]=1n（ni=1x2i-n2）的等式，然后通过化简运算解不等式，去求得其解.此法富有新意，具有规律，解题明晰，易于理解，值得重视.总之，加强方差公式的研究，符合新课程改革关于“以课程标准为指导，以教材为基础，合理使用课本，加强教学科研”的理念要求，有利于培养学生的探索精神和创新意识，有利于指导学生启迪思维、开拓视野，有利于学生数学思维能力和综合运用知识解题能力的提高，有利于培养学生感悟数学、掌握基础知识和基本技能及方法，提高综合解题水平，有利于培养学生的思维品质，有利于调动学生学习的积极性，有利于提高学生的专题总结水平.故笔者认为：在今后的教学过程中，适当引导学生进行这样的专题研究是很有必要的.