对一道错题的讨论

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题目 如图1所示，A是半径为R的圆形光滑轨道，固定在木板B上，竖直放置；B的左右两侧各有一光[TP12GW111。TIF，Y#]滑挡板固定在地面上，使其不能左右运动，小球C静止放在轨道最低点，A，B，C质量相等。现给小球一水平向右的初速度v0，使小球在圆型轨道的内侧做圆周运动，为保证小球能通过轨道的最高点，且不会使B离开地面，初速度v0必须满足（重力加速度为g）

A。最小值为[KF（]4gR[KF）] B。最小值为[KF（]5gR[KF）]

C。最大值为[KF（]6gR[KF）] D。最大值为[KF（]7gR[KF）]

1 错解

这是一道综合应用牛顿第二定律和机械能守恒定律的题目，在很多高中物理资料和试题中均有出现。一般的解法如下：

要使小球能通过最高点，在最高点速度最小时应有：

mg=m[SX（]v21[]R[SX）]（1）

小球从最低点到最高点的过程中，根据机械能守恒定律有

2mgR+[SX（]1[]2[SX）]mv21=[SX（]1[]2[SX）]mv1[KG-*2]′2（2）

由（1）、（2）解得[JZ]v′[KG-*2]1=[KF（]5gR[KF）]。

要使B不会离开地面，小球在最高点速度最大时应有环对球的压力

F=2mg（3）

根据牛顿第二定律 mg+F=m[SX（]v22[]R[SX）]（4）

从最低点到高点的过程中，根据机械能守恒定律有

2mgR+[SX（]1[]2[SX）]mv22=[SX（]1[]2[SX）]mv2[KG-*2]′2（5）

由（3）、（4）、（5）解得[JZ]v2[KG-*2]′=[KF（]7gR[KF）]。

所以保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起，在最低点的速度范围为[KF（]5gR[KF）]≤v≤[KF（]7gR[KF）]。故B、D正确。

[TP12GW112。TIF，Y#]

其实这是一种错误的解法，因为它不能保证小球在到最高点之前，B是否已经离开地面。

2 正解

如图2，设小球所在位置与圆心的连线与竖直方向成θ角，此时速度为v，环对球的压力为F，球在最低点速度为v0，则有

F+mgcosθ=m[SX（]v2[]R[SX）]（6）

[SX（]1[]2[SX）]mv2+mgR（1+cosθ）=[SX（]1[]2[SX）]mv20（7）

要使在该处圆环刚好离开地面应有

Fcosθ=2mg（8）

由（6）、（7）、（8）解得v20=gR（3cosθ+[SX（]2[]cosθ[SX）]+2），

很显然在3cosθ=[SX（]2[]cosθ[SX）]时，即cosθ=[SX（][KF（]6[KF）][]3[SX）]时，v0有最小值

[JZ]v0min=[KF（]2gR（1+[KF（]6[KF）]）[KF）]，

所以不会使环在竖直方向上跳起，小球在最低点的速度v≤[KF（]2gR（1+[KF（]6[KF）]）[KF）]，所以答案D错误。

3 进一步讨论

那满足什么样的条件就可以让最大速度的临界点在最高点？

设A和B总质量为m′，则（8）式变为

Fcosθ=2m′g（9）

由（6）、（7）、（9）解得

v20=gR（3cosθ+[SX（]m′[]mcosθ[SX）]+2）。

在3cosθ=[SX（]m′[]mcosθ[SX）]，即cosθ=[KF（][SX（]m′[]3m[SX）][KF）]时，v0有最小值，要使v0有最小值的位置出现在最高点，即θ=0°，必须有m′≥3m。

其实我们可以想象，在A和B总质量比较小的时候，小球一旦越过θ=90°的位置，B就会离开地面，就是v0≥[KF（]5gR[KF）]，小球也不能到达最高点，所以其实这是一道错题。

在解决物理问题的时候，有时不从一般性角度出发，不通盘考虑整个过程，凭经验和想象确定临界位置或临界时刻，往往就会出差错。