凸函数及其运用

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（武昌理工学院信息工程学院，湖北武汉430223）

摘要：本文介绍了凸函数的概念和性质，论述了运用凸函数的性质证明不等式的方法和技巧。

关键词：凸函数；定义；性质；不等式；证明

中图分类号：O174.13文献标识码：A

在高等数学中我们讨论了函数，奇偶性、单调性、有界性、周期性，并且能用导数讨论函数的单调性但单调性相同的函数从图像上可以看出存在着很大差异，它们的曲线弯曲的方向不一样，递变的方式也不相同，这种性质就是曲线的凹凸性。下面我们着重探讨如何运用曲线的这种性质证明数学中的不等式。

一、凸函数定义的几种等价形式

定义1. 设函数 在区间 上有定义，如果对 ，恒有

，

那么称函数 在 上是下凸函数，简称凸函数（图a）。若不等号相反，则称为凹函数（图b）。

（图a）（图b）

可见所谓凸函数就是高等数学中说的函数图形是凹的。下面给出更一般的定义。

定义2. 设 在区间 上有定义，且，如果对 及 恒有

，

那么称 在 上是下凸函数，简称凸函数。

定义3. 若，连接两点 、 的线段在曲线 之上，则称 是 上的下凸函数，简称凸函数。

二、凸函数判别法及性质

定理 若 在 中可微分两次，则 在 中为凸函数的充要条件是，对任何 ，总有

性质1. 若 在 上为凸函数，则 在 上连续且 存在。

性质2. 设 是 上凸函数，且对 有 ，则

，

性质3. 设 是 上的凸函数，则对 及数列，有

注：在上式中令 ，得

下面仅对性质3给出证明

证明 令

于是 欲证性质3只需证

用数学归纳法。当 时，由 的凸性即知。假设当时恒有

这里 那么，当 时，由归纳假设

于是，对任意 ，有

三、利用凸函数性质，证明不等式

例1. 设 ，证明不等式

且上式的等号仅在 时成立。

证明方法1. 取

由知 在 上是严格下凸函数，

根据性质3，对 ， 有

即当 时，就有

于是

且上式的等号仅在 时成立。

方法2. 取 ，则由知 在 上是严格下凸函数，根据性质3，对 ， 有

于是且上式的等号仅在 时成立。

例2．若 是区间 上的凸函数，则

证明 由 的凸性保证了积分 有意义。

当 时，，且有

由 令， 得

于是

又令 ，则

于是

综合（1），（2）得

注意：此题的几何意义为

也就是当 单调且凸时，由及 所围图形的面积不大于由及 所围图形的面积。

不等式的证明方法很多，在高等数学中通常采用有中值定理、函数单调性及其他方法。这里我们利用凸函数特有的性质证明不等式，试图通过这个问题的研究，促进我们更深层次挖掘教学、教法，激发学生的学习兴趣，培养学生发散思维能力，从而，有利于教学工作不断的深入向前发展。

参考文献：

[1] 欧阳光中, 姚允龙, 周渊. 数学分析(上册)[M]. 上海: 复旦大学出版社, 2002.

[2] 翟连林, 姚正安, 数学分析方法论[M]. 北京: 北京农业大学出版社, 1992.

[3] 同济大学数学系. 高等数学（上册）[M]. 北京: 高等教育出版社, 2009.

（本文审稿赵益华）