浅谈误中悟

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摘 要：数学误性是人们从事数学活动时洞察数学问题实质的能力，它是数学灵感和创造性思维产生的前提，“悟”的奥妙往往在“误”之中。

关键词：数学误性；数学悟性；设疑解疑

中图分类号：G633 文献标识码：A文章编号：1003-2851（2011）08-0-01

一、设误诱思，在探索中启误

教学中，针对学生对某些数学概念、法则、定理、公式等方面理解肤浅而使判断、推理及解题失误现象，有的放矢地选编一些颇具迷惑性的题目，在易错的节骨眼上布设“陷阱”，“诱”使学生误入歧途、引起思维冲突，产生探求真知的欲望。

例1 已知>0,求的最大值。

这是针对学生应用基本不等式时易忽视“定值”、“相等”的条件而设置“陷阱”的题目。先让学生练习，教师巡视，并让出错的学生板演解题过程：

学生甲：≥，当且仅当，即=2时取等号，故min=8。

学生乙：≥=，min=。

同一问题却因解法不同答案各异，原因何在？引导学生对照定理条件进行分析、讨论，找出了失误的原因：甲的解法没请注意到应为定值，而不是定值，所以解法错误；乙的解法中，由于无解，等号不能成立，解法也是错误的。怎样正确求解呢？学生再度陷入沉思，此时正是误性的孕育过程。笔者趁势点拨：尽管学生乙的解法不正确，但设想有创意，只因等号不能成立而失误。能否将函数学重新变形，沿着原先的“设想”走下去呢？学生恍然大悟：≥=，当且仅当即时取等号，故min=。

学生经过探讨实现了原先未能成功的设想，成功感、愉悦感、自信心油然而生。顺便指出：在解题过程中，教师要善于捕捉学生思路的闪光点，引导学生根据错解提供的反馈信息检讨自己原先的“设想”，期待走出误区，进入悟境，培养学生的教学悟性和勇于探索的精神。

二、扣误激疑，在思疑中领悟

孔子说：“小疑小悟，大疑大悟”。无疑不思，无思不悟，疑是悟性形成的激发点。在教学中有计划地剖析典型错解，扣住“误”点设疑解疑，鼓励和激发学生独立思考，能有效地引发思维探索的主动性，进入悟境。

例2 求函数的值域。

一位学生略加思索就给出了如下错解：

≥，

。

教师：该同学把函数式合理配项应用基本不等式求解，思路很好！但其解法正确吗？

学生：在上面解法中应补充说明当且仅当=2时，的最小值是3。

此时学生似乎没有什么疑问了。

教师：应用基本不等式求函数最值或值域应满足什么条件？题中是否具备这些条件？

这一设问，学生茅塞顿开，很快发现了上面解法的错误，并找到了正确的解法：

函数的定义域是≠1，当1时，>0，≥2+1=3，当且仅当=2时取等号，于是原函数值域是(-∞,-1]∪[3,+∞)。

在这里，于学生“无疑”设疑，扣“误”激思，学生的思维活跃，“启而得发”也就成为现实。

例1、例2的错解告诉学生：常用基本不等式求最值或值哉时“一正、二定、三相等”的三个条件缺一不可。学生经历了一个由“误”到“悟”的过程，这种现场纠错的活动，学生印象特别深刻。由“误”而产生的防错免疫力远非教师多次口头重复“注意”二字所能形成的。

三、误反思，在联想中顿悟

“不愤不启，不悱不发”是教育家孔子提出来的教学原则。在教学中教师要顾及学生“悟”的需要,营造“愤、悱”氛围，创设误“悟”的思维情境。而变式联想正是一种有效途径。将前面例2变式作强化训练：

变题1 已知≥1，求的最小值。

教师有意迎合学生的习惯思维，板书错解：

≥3,≥,min=2

反问：此解法正确吗？

学生甲抢先说：“不正确！因为≥3，所以在≥2中，等叫不成立，本题不宜用基本不等式求解。”怎么办？学生思维“卡壳”，处于“愤”、“悱”状态。这时，我引导学生观察所给函数式的特点，联想函数的单调性。通过观察联想，学生利用函数单调性来解：易证在[3,+∞)上单调递增，所以当=3时，min=。

变题2 已知，+=1，证明：。

思路1引导学生直接用基本不等式：≥2，≥2，()()≥4,尝试失败。

思路2 左端展开后利用基本不等式。左端展开得()()=，，≥2,仍然只能证出()()≥4,尝试再度失败，陷入困境。

反思：造成失败的原因是什么呢？引导学生观察上面的解题过程发现：在证明过程中均没有用到条件+=1，为此需考查在+=1的限制条件下的取值范围。

,+=1，0

联想寓于思维过程中，是由一种信息情境联系另一种信息情境的心理现象，它常是未知的催化剂，打开思路的金钥匙。在解题教学中，善于引导学生深入观察信息源中数学表达式，联想定义、定理、法则、公式等，常能独辟蹊径，优化解题过程。长此以往，可提高学生的观察质量，丰富联想，发展学生的思维能力，培养学生的数学悟性。

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