斜率“陷井”

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直线的倾斜角为 ，斜率为k，若 ≠90°，则斜率k=tan ，若 =90°，则斜率k不存在，此时直线与y轴平行或重合，因此在处理有关直线方程问题时要格外注意这种情况，防止掉入“陷井”。

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[分析]本题错误的原因是把直线l的倾斜角介于CA、CB的倾斜角之间和斜率介于二者之间混为一谈，没注意到倾斜角为90°的跨越，如图，直线l是一组绕点C转动而成的直线系，点A、点B是它的两个极端位置，直线l在以CB的位置逆时针转动到CA位置的过程中，倾斜角由锐角逐渐增大到90°，再到钝角 ，其斜率则从tan 逐渐增大到+∞，又从-∞逐渐增大到tan 。

正解：同错解

l的斜率的范围是（-∞， ）∪（ ，+∞）

例2：已知直线l1： 和直线l2：

试判断当l1与l2平行时，m的取值

错解：由l1∥l2得

解得m=-4，且当m=-4时

所以m=-4符合题意

分析：两直线平行，则斜率相等或不存在，错解原因是忽略了斜率不存在时两直线平行情况。

正解：当l1和l2的斜率都不存在时

由 解得m=3

此时l1： ，l2：

显然l1∥l2

当l1和l2都有斜率时，同错解

综上可知：当m=3和m= 时，l1∥l2

点评：运用斜率来处理两直线平行时，要紧紧抓住k1，k2，b1，b2之间关系，需对直线有斜率和斜率不存在两种情况分别解答，否则会使解题出现漏解，掉入斜率“陷井”。

例3：已知圆C的方程为

求与圆C相切，且过A（1，-2）点的直线方程。

解：错解：易知圆C方程为

设直线斜率为k，又直线过A（1，-2）

其方程为y+2=k（x-1）即kx-y-2-k=0

由题知圆心（2，1）到直线kx-y-2-k=0距离为半径，即 k=

直线方程为 ，即4x-3y-10=0

[分析]易知点A在圆C外。很明显，过A作圆C的切线应该有两条，本题出现漏解，漏掉了斜率不存在时的情况。

正解：若斜率不存在，则过点A的直线方程为x=1，圆心C到x=1的距离恰为1，即d=r，此时直线x=1正好与圆C相切。

若斜率存在，同错解。

综上，直线方程为x=1或4x-3y-10=0

例4：已知过点A（-1，0）的动直线l与圆C：x2+（y-3）2=4相交于点P、Q两点，M是PQ的中点，当PQ= 时，求直线l的方程

解：错解：设直线l的斜率为k，又l过A点

方程为y=k（x+1） 即kx-y+k=0

由题知

又

直线方程为4x-3y+4=0

[分析]这是一道很好的综合题，包含了丰富的内容。错误原因是丢掉了斜率不存在时的相关情况，因此出现了漏解。

正解：若斜率不存在，则直线方程为l：x=-1，圆心C到l的距离为1，即d=1

此时弦PQ= ，完全符合题意。

若斜率存在，设为k，以下同错解。

综上，直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0

在求解有关直线方程问题时，无论是斜率的范围，还是圆的切线，或圆的弦，都要特别留意，斜率不存在时的情况，否则会出现漏解或错解现象，应引起我们足够的重视。