基于单尺度脊波变换的阈值滤波方法
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摘要：分析了高斯白噪声在单尺度脊波域中的统计性质，提出了一种新的基于单尺度脊波变换的阈值滤波算法。仿真结果表明，这种算法不仅比传统基于小波变换的各种滤波算法有更高的PSNR值，而且能更好地保持图像细节。
关键词：滤波；脊波变换；单尺度脊波变换；小波变换
中图分类号：TP391.41文献标识码：A
文章编号：1001-9081(2007)04-0966-04
0引言
脊波变换(RidgeletTransform)是一种新的多尺度几何分析(MultiscaleGeometricAnalysis,MGA)工具，由Littlewood―Paley原理、小波分析、群展开理论(GroupRepresentionTheory)发展而来，是现代调和分析的又一重要成果。
众所周知，小波变换能“几乎最优”地表示点奇异，而对于含有线奇异的多变量函数，其表现却差强人意。
如何找到一组更优的“基”以有效表征具有线奇异的多变量函数，这正是推动多尺度几何分析或者脊波理论发展的内在动力。
脊波变换的基本理论框架由文献[1―3]中完成,文献[4]则给出了一种正交脊波的构造方法。脊波变换能“几乎最优”地表示具有直线奇异的多变量函数。但是，对于具有曲线奇异的多变量函数，其逼近性能也只相当于小波变换。在文献[5]中，又提出了单尺度脊波(MonoscaleRidgelet)。单尺度脊波的提出，正是为了解决对具有曲线奇异的多变量函数的稀疏逼近问题。
本文在第2、3节中将简单介绍脊波及单尺度脊波的理论及其相关成果；在第4节，提出了一种基于脊波变换的阈值滤波算法；第4节的仿真试验表明，基于脊波及单尺度脊波变换的新阈值滤波方法，不仅能部分消除传统基于小波变换的滤波方法中所存在的“振铃效应”问题，并且其在细节保持性能方面要明显的优于基于小波变换的传统方法。
1脊波变换
让我们简单回顾一下含有m个神经元的单隐层前向网络对n维函数的逼近问题:
其中每一个脊函数称为一个原子，于是式(1)可以看作是由此字典中的有限个原子的线性组合。字典式(3)能以简单的线性叠加形式以任意精度逼近Rn中的任意函数f是已经证明的事实[6]，问题的关键是如何得到这样的线性分解。
脊波正是以现代调和分析的概念与方法来构建这样的线性分解，即式(1)的构造问题。不同于一般的激励函数ρ，脊波引入了“容许神经激励函数”ψ[1]。
定义1若函数ψ:RR满足容许条件：
文献[3]已经证明，对于含有超平面奇异的多变量函数，脊波是最优基。作为特例，对于含有直线边缘的二维光滑函数，脊波能提供最优地稀疏表示。
2单尺度脊波变换
脊波在表示具有直线奇异的多变量函数时，具有极佳的性能。但是，对于含有曲线奇异的函数f，表现并不理想，其最大m项脊波系数重构误差为：
其逼近性能仅相当于小波而已。为了找到一种更优的表示工具，使其对于含有曲线奇异的光滑函数具有更优的逼近性能，文献[5]中引入了单尺度脊波。
单尺度脊波变换利用二进剖分的方法，用直线来逼近曲线，如在二维情况下，设曲线Γ的支撑区间为单位方体[0,1]2，当以某种合适的尺度均匀剖分此方体，那么，设曲线Γ与某一剖分块相交，Γ′为曲线Γ与此剖分块相交的部分，当剖分尺度合适时，在此剖分块中，Γ′可以近似用直线来逼近。如图1所示。
在数据压缩及在统计估计等应用中，能否对目标函数稀疏表示是一个至关重要的问题。计算谐波分析(ComputationHarmonicAnalysis,CHA)是一个快速发展的领域，其主要的目的就是寻求对目标函数的稀疏表示及其快速算法的实现。
3单尺度脊波滤波算法
3.1小波阈值滤波
本文主要讨论在脊波域中的阈值滤波问题，下面先介绍小波域中的阈值滤波方法。
若原信号中噪声是加性高斯白噪声，即:
由于小波变换是正交变换，在小波分解后，每分解层上的噪声依然是加性、高斯的。
小波阈值去噪方法是利用信号能量集中于小波变换域少数系数上的特点。小波阈值方法也称小波缩减法(Waveletshrinkage),分软阈值和硬阈值法。
由于小波变换是正交变换，在小波分解后，每分解层上的噪声依然是加性、高斯的。
小波阈值去噪方法是利用信号能量集中于小波变换域少数系数上的特点。小波阈值方法也称小波缩减法(Waveletshrinkage),分软阈值和硬阈值法。
3.2单尺度脊波阈值滤波算法
即函数f的脊波变换是其Radon变换与容许神经激励函数的卷积。多数小波函数满足容许神经激励函数条件(4)，因此，可以认为函数的脊波变换是其Radon变换的一维小波变换[8]。
Ridgelet变换与小波变换不同，它首先进行Radon变换，然后再进行小波变换。Radon域中的一个系数是某一方向、某一截距上原图像所有像素点的灰度值的叠加。而不同方向、不同截距所产生的Radon系数所叠加的原图像的像素点个数是不一样的，所以在Radon域中每一个系数的噪声水平也不一样。对Radon域进行小波变换后，所得结果即为Ridgelet。于是，在脊波或者单尺度脊波域中，每个系数的噪声水平是不同的[9]。
阈值化处理的关键问题是选择合适的阈值δ。如果阈值太小，去噪后的信号仍然有噪声存在；相反，阈值太大，重要地图像特征将被滤掉，引起偏差。而阈值滤波中阈值的设置是和系数的噪声水平有关的，于是如何计算每一个脊波或者单尺度脊波系数的噪声水平是进行阈值处理时必须首先解决的一个问题[8]。
在仿真试验中，用Monte―Carlo方法(PerfectMonte―Carlosampling)估计每一点的噪声方差：随机给定标准白噪声图像N次，设其经单尺度脊波变换后生成的脊波系数矩阵为：
4仿真实验
为检验单尺度脊波域中阈值去噪算法的有效性，我们给出一个图像去噪的实例。
实验中所用图像为一含直线和曲线奇异的分片光滑函数，大小为256×256，255级灰度水平。含噪图像由原图叠加不同噪声水平的高斯白噪声而成。实验中所用变换包括：正交小波变换(DWT，下采样，滤波器为Symlet－8)；正交脊波变换(O_Ridgelet);单尺度脊波变换（M_Ridgelet，剖分尺度为3，容许神经激励函数为Symlet－8）。所有变换均采用硬阈去噪（3σ)。表1给出了不同噪声水平下的实验结果(PSNR),从中不难看出，对于各种噪声水平，正交小波变换的PSNR值均低于其他各种方法，例如，比用正交脊波所得的去噪结果大约低1dB左右，而单尺度脊波又好于正交脊波约0.3dB―0.4dB。
在图2中也给出了所加高斯白噪声标准差为20时的去噪图像。图2(b)为由正交小波得到的去噪图像，存在点状“振铃效应”，在边缘处表现得尤其明显，且边界模糊；图2(c)和图2(d)中，用正交脊波和单尺度脊波得到的去噪图像有相似的视觉效果，与正交小波不同的是，这两种变换呈现一种线状的“振铃效应”。事实上，这与所用变换的基或框架元素的支撑区间形状有关：2―D小波变换由1―D小波所张成，基的支撑区间呈正方形，并随着尺度的增大而逐渐趋于点状；而正交脊波及单尺度脊波框架的支撑区间呈长条形，并具有高的脊线。值得注意的是，用正交脊波和单尺度脊波所得结果,不仅PSNR值比正交小波提高了约1dB―2dB，更重要的是不存在边界模糊的现象。
图3给出了对Lena图像（512×512，255级灰度水平）噪声水平为20时的去噪实验。实验中为减少“振铃效应”，单尺度脊波变换用冗余小波构成。由图3能清楚地看出，单尺度脊波变换不仅比小波变换得到更高的PSNR值，更重要的是，去噪图像中的“线形结构”能得到更好的恢复。
图片图3各种去噪方法的视觉比较2(噪声标准差为20)
5结语
单尺度脊波变换能更有效地表示线性和曲线奇异，当用于图像去噪时，能很好地保持图像边沿和细节。然而，由于单尺度脊波变换并不是一种正交变换，因此如何确定单尺度脊波域中的噪声水平便是其用于图像去噪时的一个关键问题。
本文分析了高斯白噪声在单尺度脊波变换域中的分布特点，给出了一种估计噪声水平的方法，并由此给出一种单尺度脊波变换域的阈值去噪算法。实验结果表明，此算法不仅能获得比传统小波变换更高的PSNR值，而且能较好地保护噪声图像中的“线形结构”。
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