学生对图象斜率的“疑”与“混”

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在人教版高一物理课本“直线运动”一章中，引入位移―时间图象（s-t图象）和速度―时间图象（v-t图象）。图象斜率有着一定的物理意义，在s―t图象中斜率表示速度，在v―t图象中斜率表示着加速度。笔者在教学中发现，大多刚入高一的学生极易出现以下的疑惑与混淆。

一、疑惑的是：“物理图象中直线斜率怎么有时会不等于直线与横轴夹角的正切值呢?”

例1如图1和图2为物体作匀速直线运动的s―t图象，α=β=45°，问图象斜率分别是多少？

解析直线斜率k等于图线的纵坐标变化量Δs与横坐标的变化量Δt的比值，即k=Δs/Δt，所以图1直线斜率k1=(15―0)/（3―0)m／s=5m／s，图2直线的斜率k2=(15-0)／(15-0)m／s=1m／s。

疑惑直线斜率不是还等于直线与横轴夹角的正切吗?因此图1的直线斜率k1=tanα=tan45°=1，图2直线斜率k2=tanβ=tan45°=1，有图上数据可知：v1=5m／s、v2=1m／s，显然在图1中tanα不能表示物理图象的直线斜率了，为什么呢?

解惑如图3所示，在数学上直线y=kx的斜率k=tanγ是在x轴和y轴上单位长度相等的条件下定义的。物理图象中两个坐标轴的单位长度一般是不相等的，如图1所示的纵轴上的1m长度和横轴上的1s长度就不相等，这时tanα=tan45°=1就不能表示物理图象中的直线斜率了，仅表示着几何直角OAB中纯几何线段AB与OB的比值是1，正切值不能再表示具有物理意义的斜率了。显而易见，横纵坐标单位长度的变化将直接影响物理图象中直线与横轴夹角的大小，但图线上纵坐标变化量与横坐标变化量的比值却是恒定的，这个比值正好能表示物理图象中直线的斜率，所以用斜率K=(y2―y1)／(x2―x1）进行计算是不会出现问题的，而用k=tanα求斜率有时是不可行的。

二、将物理图象上“某点切线的斜率”与“经过图象上某点和原点的直线的斜率”混为一谈。

如图4所示为两物理量y和x关系的图线，其上某点P(x，y)的切线斜率k1表示该点所对应状态物理量y随x的变化快慢即变化率；而过P点和原点的直线的斜率k2表示该点所对应状态物理量y和x的比值。显然斜率k1和k2的物理意义是不同的，应用其解决物理问题时使用对象也不同。

例2如果图4是某物体作直线运动的s―t图，那么图象上某点P的k1和k2的物理意义各是什么?

解析由于k1表示物体在t时刻运动变化快慢，故k1的物理意义是物体在t时刻的瞬时速度，从图可看出斜率越来越小，物体的瞬时速度也越来越小；k2=s／t可理解为从开始计时到t时刻这段时间内物体的平均速度。

例3如果图4是某物体作直线运动的v―t图，那么图象上某点P的k1和k2的物理意义又各是什么?

答：k1的物理意义是表示物体在t时刻的瞬时加速度，k2的物理意义是表示从开始计时到t时刻这段时间内物体的平均加速度。

仅此二例，足以说明混淆了两种斜率的含义，必然导至错误。

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