离散线性卷积的理解和计算综述

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【摘 要】总结离散线性卷积的两种理解方法，分析了基于系统输入输出关系角度理解的卷积计算方法，并以算例的形式，和按公式本身进行计算的结果进行比较，验证了其正确性。对离散线性卷积进行不同角度的理解和计算，有利于学生更深入地掌握该知识点。

【关键词】信号；卷积；输入输出关系；滤波

0 引言

在交通运输和车辆工程等专业开设有《汽车测试技术》、《汽车拖拉机试验学》和《发动机测试技术》等课程，其中均含有信号调幅和滤波等相关知识[1-2]。调幅是在时域上将调制信号与载波相乘，在频域是二者频谱的卷积；滤波是在频域上将原始信号频谱与滤波器频谱函数相乘，而在时域上将二者进行卷积。而目前这些教材专门针对卷积的讨论较少，而要深刻掌握这些卷积的实际应用知识，就必须对卷积概念及其计算方法作较深的理解。卷积有连续信号卷积和离散信号卷积，二者的原理相同，区别是前者为连续信号积分，而后者是离散序列的求和。为了使学生能够理解和掌握卷积概念、计算及其应用的相关知识，从离散线性卷积角度，总结和分析了系统输入输出关系和滤波两种不同角度的理解；目前大部分教材讨论卷积的计算时，均是依据卷积计算公式本身[3]，本文再从系统输入输出关系的角度，对文献[3]中算例进行卷积计算，并和文献[3]中的按卷积公式本身得出的结果进行比较，验证此方法的正确性。

1 系统输入输出关系角度的理解

一个序列x（n）可以表示为单位抽样信号δ（n）及其所有位移的线性组合，即x（n）在各个时刻k处的 “抽取值”之和，如式（1）[3]。

若一个离散线性系统对单位抽样信号δ（n）的响应是h（n），由于离散系统为线性，满足齐次性，则其对输入x（k）δ（n）的响应为x（k）h（n）；由式（1）可知，输入x（n）是所有k时刻的x（k）δ（n-k）之和，可得到该离散系统对输入序列x（n）的响应为式（2），即输出y（n）是输入序列x（n）在各个k时刻的 “抽取值”x（k）与相应的单位抽样响应h（n-k）的乘积之和[3]。式（2）即为x（n）与h（n）的离散线性卷积x（n）*h（n），这样就从系统的输入输出关系角度解释了离散线性卷积。

2 滤波角度的理解

对于时域离散信号x（t），其频率为f；设采样时间为Ts，得到时域离散信号x（n），频率为fs。考察时域离散信号x（n）的滤波，滤波时间函数（滤波因子）为h（n），滤波输出为y（n），x（n）、h（n）和y（n）的频谱分别为XTs （f）、HTs（f）和YTs（f）。对信号x（n）的滤波就是在频域将XTs（f）和HTs（f）相乘，得到YTs（f），然后对YTs（f）进行傅里叶逆变换就可以得到滤波后输出y（n）。则离散线性系统的滤波过程可以描述为[4]：

由于离散线性卷积的可交换性，即y（n）=h（n）*x（n）=x（n）*h（n），所以式（3）c式（2）相等，均表示x（n）与h（n）的卷积。从以上分析可知，滤波是信号与滤波因子在时域的乘积，而在频域是对二者频谱进行卷积，这就从滤波角度对卷积进行了理解。

3 卷积的计算方法

对于离散线性卷积，大部分教材均按照式（2）和式（3）中的一个来进行计算，二者计算方法完全相同，以式（2）为例，其计算步骤是先将h（k）翻转得到h（-k），再进行移位，将每次移位后的h（-k）与x（n）重合的采样点分别相乘再求和，得到y（n）的一个采样点的值，然后不断移位和重复上述的相乘与求和过程，最终得到y（n）的所有采样点的值[3]。这是从式（2）和式（3）的数学公式的角度来进行计算，为了从不同的角度来理解卷积的计算方法，下面将从系统输入输出关系角度理解上来分析卷积的另外一种计算方法。

从式（1）推导出式（2）的过程中利用了线性系统的齐次性，所以，在式（2）中，对于每一个确定的k时刻，x（k）为定常数，δ（n-k）是δ（n）移位k个采样时间单位得到的序列，将x（k）与δ（n-k）的乘积x（k）δ（n-k）作为输入，最后将各个k时刻得到的输出x（k）h（n-k）求和，即得到y（n）。按照系统输入输出关系的理解，将各个采样时刻k的定常数x（k）乘以h（n）的移位序列h（n-k），得到k时刻的输出序列x（k）h（n-k），然后将各个k时刻得到的输出序列在各个采样点进行叠加求和，则实现卷积计算y（n） =x（n）*h（n）。

在文献[3]中的例1.6.1中，按照式（2）的数学公式本身进行了直接计算，原始题目为：令h（n）={h（0），h（1）}={1，1}，x（n）={x（0），x（1），…，x（3）}={1，2，3，4}，试求x（n）与h（n）的卷积[3]。这里利用系统输入输出关系的理解方法进行计算，由于序列x（n）的采样点范围是n=0～3，所以分别令k=0，1，2，3，可得各个k时刻的输出序列x（k）h（n-k），如图1各图中的粗实线实心圆头所示。

在图1中得到各k时刻的x（k）h（n-k）各序列中，将相同采样点的值加起来，作为卷积输出y（n）的在这个采样点上的值，可得到y（n）={y（0），y（1），y（2），y（3），y（4）}={y0（0），y0（1）+y1（1），y1（2）+y2（2），y2（3）+y3（3），y3（4）}={1，3，5，7，4}，对比文献[1]中的计算结果，二者完全相同，从而验证了该计算方法的正确性。

4 结束语

总结和分析了离散线性卷积在输入输出关系和滤波两个角度上的理解，并从系统输入输出关系的理解方法上计算卷积。从不同角度去理解和计算卷积，将会帮助学生对卷积及其应用知识的牢固掌握。

【参考文献】

[1]李杰敏.汽车拖拉机试验学[M].北京：机械工业出版社，2006.

[2]唐岚，李涵武.汽车测试技术[M].北京：机械工业出版社，2006.

[3]胡广书.数字信号处理-理论、算法与实现[M].北京：清华大学出版社，2003.

[4]程乾生.数字信号处理[M].北京：北京大学出版社，2003.