生活中的分段函数

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分段函数是指在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不相同的函数.分段函数的应用问题通常被设计成包含两种以上情况的形式，解答它们需分段讨论.下面列举两例进行说明，供同学们学习时参考.

例1为了鼓励小强勤做家务，培养他的劳动意识，小强每月的费用都是根据上个月他的家务劳动所得奖励加上从父母那里获取的基本生活费.若设小强每月的家务劳动时间为小时，该月可得（即下月他可获得）的总费为元，则（元）和（小时）之间的函数图象如图所示.

（1）根据图象，请你写出小强每月的基本生活费为多少元；父母是如何奖励小强家务劳动的？

（2）写出当0≤≤20时， 与之间的函数关系式；

（3）若小强希望5月份有250元费用，则他4月份需做家务多少小时？（2006年浙江省湖州市）

分析：本题是一道分段函数应用问题，解题时需从图象上获取信息，考查了同学们读图、识图和分析图的能力.不管 怎么变化，图中的都是关于的一次函数，当0≤≤20时，可根据（0，150）、（20，200）两点确定函数关系式. 解答第（3）小题时，应先确定250元费用所需做家务的时间范围.由图象可知，当0≤≤20时， 最大值为200，所以当 = 250时， ＞20，故应先求出 ＞20时， 关于的函数关系式.

解：（1）小强每月的基本生活费为150元；

如果小强每月家务时间不超过20小时，每小时奖励2.5元；如果小强每月家务劳动时间超过20小时，那么20小时按每小时2.5元奖励，超过部分按每小时4元奖励.

（2）当0≤ ≤20时，设函数关系式为 =+ .由图象易得

解得 故 = 2.5 + 150.

（3）当≥20时， 关于的函数关系式是 = 4 + 120.

令4 + 120 = 250，解得= 32.5.

因此，小强4月份做家务32.5小时，5月份可得250元费用.

例2依法纳税是每个公民应尽的义务.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民每月收入不超过1600元，不需交税；超过1600元的部分为全月应纳税所得额，都应纳税，且根据超过部分的多少按不同的税率纳税，详细的税率如下表：

（1）某工厂一名工人2006年5月的收入为2000元，他应交税款多少元？

（2）设表示公民每月收入（单位：元）， 表示应交税款（单位：元），当 2100≤≤3600时，请写出关于的函数关系式；

（3）某公司一名职员2006年5月应交税款120元，问该月他的收入是多少元？（2006年广东省肇庆市）

分析：解题的关键是要能从表格中获取所需的信息.

解：（1）该工人5月的收入2000元中，应纳税的部分是400元，按纳税的税率表，他应交纳税款400×5% = 20（元）；

（2）当2100≤≤3600时，其中1600元不用纳税，应纳税的部分在500元至2000元之间，其中500元按5%交纳，剩余部分按10%交纳.

于是，有 = [（1600）500]×10% + 500×5% = （2100）×10% + 25，

即关于的函数关系式为 = （2100）×10% + 25（2100≤≤3600）.

（3）根据（2），当收入为2100元至3600元之间时，纳税额在25元至175元之间. 由该职员交纳税款120元，可知他的收入肯定在2100元至3600元之间.设他的收入为元，由（2）可得

（2100）×10% + 25 = 120.

解得 = 3050.

故该职员2006年5月的收入为3050元.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”