一个频谱有限小波变换像空间的再生核函数
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摘要：为了描述具有频谱有限且衰减速度较快的小波函数其小波变换像空间的性质。首先针对由Shannon尺度函数构造的小波函数，借助小波分析理论给出这个小波变换及其像空间的性质。当固定尺度因子时，得到这个小波变换像空间中的再生核函数的两种形式具体表达式，然后利用再生核空间理论描述这个小波变换像空间，为该小波的数值计算提供理论基础。
关键词：再生核Hilbert空间；小波函数；小波变换；再生核函数；尺度因子
DOI：10.15938/j.jhust.2017.02.018
中图分类号： O174.22
文献标志码： A
文章编号： 1007-2683（2017）02-0095-04
Abstract：In order to describe the nature of image space of the wavelet transform and a limited spectrum and decay faster wavelet， this paper uses Shannon scaling function to construct a wavelet function， take advantage of wavelet analysis theory to give the nature of image space of the wavelet transform and the wavelet transform. Fixing the scale factor， we get this wavelet transform as the space of two specific expressions of reproducing kernel function， take advantage of the reproducing kernel space theory to describe the wavelet transform of image space and provide the theoretical basis for numerical calculation of the wavelet.
Keywords：reproducing kernel Hilbert space； wavelet function； wavelet transform； reproducing kernel function； scale factor
0引言
小波分析a生30年来，已活跃在纯粹数学、应用数学和信号处理等领域，并取得了丰硕的研究成果[1]。小波分析反映了学科之间的相互渗透和交叉，被学者们认为，小波分析是继Fourier分析后将数学工具成功应用在工程领域的一个重大突破。众所周知，小波分析的基础是连续小波变换[2]。1992年，Daubechies在她的著作中指出，连续小波变换的像空间是再生核Hilbert空间[1]，也就是说，再生核Hilbert空间是连续小波变换的基础。因此，利用再生核Hilbert空间的性质讨论连续小波变换像空间的性质是十分必要的。由于连续小波变换是由小波函数确定的一个线性变换，所以选择不同的小波母函数，其连续小波变换的像空间也不同。即不同的连续小波变换对应着不同的再生核Hilbert空间，而且再生核Hilbert空间的每个元素可以用它的再生核函数来描述，从而在该连续小波变换的像空间中的每个元素也可以由其再生核函数来描述，这为进一步研究空间性质和数值分析提供理论依据[3]。一些学者对于Cgau小波、DOG小波、Journe小波等经典小波变换的像空间进行了研究，给出了相应小波变换像空间中的再生核函数具体表达式及其空间性质[4-6]。但是对于一般的母小波变换像空间的再生核函数的解析表达式很难获得，不利于数值分析[7-8]。此文针对广泛应用于信号检测、频谱有限且衰减速度较快的小波母函数，讨论该小波变换像空间的性质及再生核函数的具体表达式，与前人的工作相比此文不需要将尺度因子和平移因子延拓到复空间上讨论[10-13]。为该小波变换在实际问题中的数值计算和信号处理等方面提供了理论依据[14-17]。
5结语
此文利用Shannon尺度函数构造了一个频谱有限小波函数，结合小波分析理论和再生核理论得到了其小波变换像空间的再生核函数的不同形式的解析表达式，对频谱有限小波变换的像空间进行了具体描述。对进一步探讨这种小波起到一定的推动作用，也为工程方面提供理论依据。
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