基于曲率的主分量分析及应用
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摘要：提出一种基于曲率的主分量分析算法。该算法先计算各点的曲率，包括主曲率、高斯曲率和平均曲率，并将点云数据映射到曲率空间，对曲率空间进行主分量提取，然后对点云数据进行压缩。实验结果表明，该算法具有较好的压缩性能。将PCA算法引入三维点云数据压缩，弥补了传统PCA方法的缺陷。
关键词：曲率； 主分量分析； 数据压缩； 三维数据
中图分类号：TN91134文献标识码：A文章编号：1004373X(2011)22000103
Curvaturebased Principal Component Analysis and Application
TANG Minli, WANG Wei, WU Hengyu
(Hainan Software Vocational And Technical College, Qionghai 571400, China)
Abstract： A primary component analysis algorithm on account of curvature is propsed to compress the data of 3D point cloud. The primary curvature, Gaussian curvature and average curvature of each point is calculated. The point cloud data is mapped to the curvature space to extract the primary component of the curvature space. The point cloud data is compressed. Test results show that this algorithm has a perfect compression performance. The innovation of the paper is that PCA algorithm is introduced into compression of 3D point cloud data. The algorithm conquered the disadvantages of the traditional PCA method.
Keywords： curvature; PCA( primary component analysis); data compression; 3D data
收稿日期：20110711
基金项目：国家自然科学基金资助项目（60963025）；海南省自然科学基金资助项目（610230）0引言
主分量分析PCA(Primary Component Analyze)是统计学中一种根据数据的统计分布特性提取数据主要成分的数据处理方法。由于它能减少数据的维数,并能使提取成分与原始数据的误差在均方意义上达到最小,所以常被用于数据的压缩和模式识别的特征提取。在反求工程中，三维激光扫描点云数据处理的一般流程为点云数据获取、噪声去除、点云数据过滤和平滑、数据压缩、点云特征提取与分割、曲线拟合、表面重建。其中，数据压缩是后续表面重建的关键步骤。
一般而言，三维散乱点云数据具有较大噪声，数据概率分布不一定符合高斯分布，这限制了PCA在点云数据压缩中的使用。鉴于此，本文基于KernelPCA的思想，尝试将三维点云数据映射到曲率空间，然后再用PCA进行处理。
关于点云数据的曲率估算方法,国内外已有一些研究。Milroy等采用局部坐标系内的二次参数曲面逼近点云［1］,利用曲率的微分性在OSC(Orthogonal cross Section) 模型上估算点云数据的曲率值。Huang和刘胜兰是在三角网格模型上进行曲率估算的［23］。以上几种是采用其他模型代替原三维点云模型来估算曲率的方法。胡鑫采用图像处理中梯度求解法,对点云中每一点处的曲率进行估计［4］，它对噪声没有抑制作用,同时对点云数据的组织方式有要求。Yang的方法直接以点云模型为研究对象,但却局限于对规则点云进行曲率计算［5］。对于散乱点集模型进行曲率估算目前还缺少有效的方法。本文尝试着直接在散乱点集模型上计算曲率，然后再做PCA压缩。
1基于曲率的主分量分析
1.1曲率的计算
具体步骤如下：
（1） 对点云进行空间划分和K擦诮计算［6］，把每个点xi 的K擦诮包括该点记为N(xi)，每个N(xi)的隐含曲面用一个切平面逼近［7］。N(xi)在切平面上的投影记作N(xi′)，各点的切平面计算可以通过各点的邻近点关系和最小二乘原理［1］求得，且xi与xi′必须满足一一映射关系。
（2） 以xi′为基点，求出距离xi′最远的点xj′,xj′∈N(xi′)。连接xi′，xj′两点的直线方向作为u方向，垂直于u方向的直线方向作为v方向。
（3） 将N(xi′)的每点都与xi′相连，得到k个有向线段，把这些线段在u方向上的投影记为di,1≤i≤j。将di进行排序，最大的记为dmax，最小的记为dmin，则N(xi)每点对应的u参数值由下式得出：uj=dj－dmindmax－dmin （1） 式中：2≤j≤k+1；u1=0。
（4） 为计算每一顶点的曲率,运用Yang所形成的二次参数曲面逼近法，求得较为精确逼近散乱数据点的二次参数曲面。利用顶点xi的N(xi)建立二次参数曲面:r(u,v)=［1uu2］Q1
v
1.2基于曲率的PCA
PCA具体步骤如下：
（1） 计算采集到的点云数据曲率，得到矩阵K=［k1，k2，…，ki］。
（2） 令k=∑ki/i，矩阵K中的每个值减去k，得到矩阵X=［k1－k，k2－k，…，ki－k］。
（3） 对XXT进行特征值分解，求取特征值，根据数据具体特征确定阈值。
2实验
高斯曲率K及平均曲率H是分析三维表面的2个重要的几何特征，通过二者的组合可以得到，局部表面的几何特征［10］。在Matlab平台上实现了上述基于曲率的PCA算法。为了验证算法的有效性，在隧道三维扫描点云数据上进行了验证。直接用Imageware软件获取原始点云数据的基本信息，得到x，y，z方向的最小值xmin，ymin，zmin和最大值。其中，任意截取两段点云数据，形成区域1和区域2。做曲率分布直方图，如图1和图2所示。
图1区域1曲率直方图分布图1中区域1为(x>xmin&xymin+8&yzmin&zxmin+10&xymin+12&yzmin+6&z
图2区域2曲率直方图分布显然，曲率分布概率满足高斯分布，曲率主元之间具有线性关系，这些满足了PCA使用的基本条件。基于曲率的PCA对点云数据压缩后的结果如表1所示。
3数据压缩
本文以基于曲率的PCA算法,提出一个海量数据压缩方案,对所求得的点云数据的曲率进行PCA计算，保留较大特征值所对应的点，删除较小特征值所对应的点。具体方案步骤如下：
（1） 确定原始点云数据最外区域；
（2） 区域细化；
（3） 细化区域内点云高斯曲率的计算；
（4） 对求得的所有点云高斯曲率进行PCA求解；
（5） 确定求得特征值的阈值，保留较大特征值的对应点，删除较小特征值的对应点；
（6） 压缩结果不满足要求时，循环步骤（4）和步骤（5），第二次压缩；
表1区域1与区域2数据压缩比
对象压缩前点云数量压缩后点云数据压缩比 /%区域1 4 5763 92785.8区域28 7906 70776.3
运用本文的数据压缩方案对隧道表面三维扫描点云数据进行了简化。该原始数据是由德国GOM公司的光学测量仪atos 测量所得的38 645个散乱点，点云数据预先已经进行去噪，空间划分和K擦诮计算（K=10），可满足后续实验的需要。该实验是在CPU coreTM2 ，内存2 GB，硬盘250 GB，Matlab 7.0.1和Imageware 12平台环境下进行的。数据压缩结果如表2所示。
表2数据压缩结果
对象点云数量压缩比 /%原始点云数据38 645-第一次压缩32 24983.45第二次压缩27 51571.2
压缩前后的点云分别在Matlab平台里，显示结果如图3~图5所示。对压缩前与压缩后的点云变化进行比较，可以发现点云数量减少了，但是仍然能够清楚地表现整个隧道的情况。
图3数据压缩前4结语
本文给出了一种三维点云数据压缩方法。实验表明，这种方法可以达到较小的压缩比，同时尽可能地保留了细节特征。由于该算法对曲率估计的精度要求不高，提高了曲率计算的速度，具有更好的实用性。当数据样本比较大时，该算法效果更为明显。基于曲率的PCA数据压缩算法，对于目前三维扫描仪所测量的数据点云，能保留模型的特征信息，同时去除噪声，这对后续模型重建具有重大意义。
图4第一次数据压缩图5第二次数据压缩参考文献
［1］MILROY M J, BRADLEY C, VICKERS G W. Segmentation of a wraparound model using an active contour \[J\]. Computer Aided Design, 1997, 29 (4): 299320.
［2］HUANG J , MENQ C H. Automatic data segmentation for feom etric feature extraction from unorganized 3D coordinate points \[J\]. IEEE Transactions on Robotics and Automation, 2001, 17 (3): 268279.
［3］刘胜兰,周儒荣,张丽艳.三角网格模型的特征线提取［J］.计算机辅助设计与图形学学报,2003,15(4):444448.
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