《相似三角形》活动课教学案例

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八年级数学下册“相似三角形”这一章里面有一个开放性的活动题：亲爱的同学们，学习完这相似三角形的内容，你能否设计一个可行的方案，和你的同伴合作，测量学校里面的旗杆高度呢？本文是针对这节活动课的内容而设计的教学案例.

一、活动准备

教师准备：必要的测量工具，设计活动方法.

学生准备：标杆、镜子、皮尺等测量工具.

课前将学生分成4组，各小组设立组长一名，长度测量员二名，观测员一名，记录员一名，器材准备员一名，数学建模4名.

二、探究方法

要求学生能利用已经学习的相似三角形知识，结合实际，考虑测量方法.

方法1 利用阳光下的影子.（直接利用相似三角形的对应边成比例）

每个小组由组长进行协调分工，测量旗杆的影子长度，测出参照对象的实际高度和实际影子长度.

研究过程：长度测量员利用准备的卷尺测量旗杆的影子长度，如图BC.观测员和记录员配合记录BC=a，从小组成员中选出一名学生充当参照对象，相同的方法测量出A′B′和B′C′的长度分别为A′B′=b，B′C′=c.然后由数学建模的同学进行作图，计算.

思考：三角形ABC和三角形A′B′C′为什么是相似的？

在这个方案中，我们利用了物理里面的一个知识，太阳光都是平行光线，因此AC和A′C′是平行的，所以就可以利用相似三角形的判定方法中两角对应相等两三角形相似来判断他们是相似的，所以可以得到比例式：ABBC=A′B′B′C′.代入测量的数据BC=a，A′B′=b，B′C′=c计算出AB=BC・A′B′B′C′=a・bc.

教师提出一个新问题，假如今天是一个阴雨的天气，没有阳光的帮助，你可以测量出旗杆的高度来吗？

方法2 利用标杆.

每个小组选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆，观测者适当调整自己所处的位置，当旗杆的顶部、标杆的项端与眼睛恰好在一条直线上时，相关同学立即测出观测者的脚到旗杆底部的距离，以及观测者的脚到标杆底部的距离，然后测出标杆的高，收集到测量数据，利用相似三角形相关知识计算.

研究过程：如图2所示，选择长度为a的标杆CD立于观测者和旗杆之间，当观测者视线正好通过C点看到A点时，测量人员测出标杆到旗杆的长度BD=b，观测者到标杆的长度FD=c，观测者的高度EF=d.过E作EG垂直于AB交CD于H点，垂足为G点.则可以计算出EH=FD=c，HG=DB=b，CH=（a-d），EG=（c+d）.根据相似三角形对应边成比例可得CHAG=EHEG，代入相应字母得：a-dAG=cc+d，所以AG=（a-d）・（c+d）c，最后得到旗杆AB=（a-d）・（c+d）c+d.在实际的测量过程中，不出现字母，由学生用实际得到的数字代入.也可以延长AE交BF于一点来求，同学课后思考，下堂课解答.

方法3 利用镜子反射.

每个小组选出一名同学作为观测者，在观测者和旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合.测量所需数据，根据所测的结果，运用相似三角形可得两直角边对应成比例，从而求得旗杆的高度.如图3，可测得AE的长度，BE长度，BC长度.运用“入射角等于反射角”知识，推出∠AED=∠CEB.这样可推得AED∽BEC，从而推出AEBE=ADBC这个比例式.

丰富联想，优化方案.

想一想：同学们经历了上述三种方法，你还能想出哪些测量旗杆高度的方法？你认为最优化的方法是哪种？

思路点拔：如果旗杆周围有足够地空地使旗杆在太阳光照射下影子都在平地上，并能测出影子的长度，那么，可以在平地垂直树一根小棒，等到小棒的影子恰好等于棒高时，再量旗杆的影子，此时旗杆的影子长度就是这个旗杆的高度.

谈一谈：古埃及金字塔的高度是如何测量出来的？

思路点拔：测古埃及金字塔的高度与本节课的方法1相同：在金字塔顶部的影子处立一根杆子，借助太阳光线构成两个相似三角形，塔高与杆高之比等于两者影长之比.因此可以算出金字塔的高度.

教师活动：巡视观察、引导.学生活动：户外实际测量，分组合作，小组汇报、交流、探讨.教学方法：采取活动课的形式，可以先讨论、设计方案，然后进行分组户外实际测量最后回教室进行小组交流.

三、活动评价

1.本节课你学到了哪些知识？你喜欢这样的上课方式吗？

2.在运用科学知识进行实践过程中，你是否想到最优的方法？

3.在与同伴合作交流中，你从同伴身上可以发现什么优点吗？从中你得到什么启发了？