基于约束最小二乘数字图像恢复

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摘要：介绍了图像退化模型和约束最小二乘滤波器以及平滑约束最小二乘滤波器，并用MATLAB7.0实现约束最小二乘滤波恢复图像和平滑约束最小二乘滤波恢复图像。

关键词：图像恢复；图像退化；约束最小二乘；平滑约束

中图分类号：TP391文献标识码：A文章编号：1009-3044(2008)14-20914-01

1 引言

数字图像在获取的过程中，由于光学系统的像差、光学成像衍射、成像系统的非线性畸变、摄影胶片的感光的非线性、成像过程的相对运动、大气的湍流效应、环境随机噪声等原因，图像会产生一定程度的退化。因此，必须采取一定的方法尽可能地减少或消除图像质量的下降，恢复图像的本来面目，这就是图像复原，也称为图像恢复。图像复原是试图利用退化过程的先验知识使已退化的图像恢复本来面目，即根据退化的原因，分析引起退化的环境因素，建立相应的数学模型，并沿着使图像降质的逆过程恢复图像。

2 图像退化模型和约束最小二乘方法

2.1 图像退化模型

原始图像f(x,y)经过一个退化算子或退化系统H(其冲激响应为h(x,y))的作用，并且和噪声n(x,y)进行叠加，形成退化图像g(x,y)，假设算子或系统是线性的和空间移位不变的，模型的输入与输出之间可存在下列关系：

g(x,y)=H[f(x,y)]+ n(x,y)

图像复原就是已知h(x,y)和n(x,y)，进行反演运算，得到f(x,y)的最佳估计(u,v)。

2.2 约束最小二乘滤波器

式(1)为约束最小二乘滤波器；其中r为一个可调节的参数,sf(u,v)和Sn(u,v)分别表示f(x,y)和n(x,y)的功率谱密度，H(u,v)和U(u,v)分别是h(x,y)和g(x,y)的二维傅立叶变换，H* (u,v)为H(u,v)的共轭，(u,v)是(u,v)的二维傅立叶变换。约束最小二乘滤波器对噪声放大有自动抑制作用，但增强了低频段中偏高的频率成分，在视觉上即是使一些小细节增强。如果H(u,v)在某处为0，由于存在Sn(u,v)/Sf(u,v)，所以分母就不会出现0的情形。一般在低频谱区，信噪比很高，即Sn(u,v)Sf(u,v)，因为噪声项一般多在高频范围，所以滤波器抑制了噪声，但同时也去掉了一些有用的高频细节。这说明约束最小二乘滤波器在滤波过程中，减少了对噪声的放大作用。

2.3 平滑约束最小二乘滤波器

式(2)为平滑约束最小二乘滤波器。式中r为可调节的参数，r的取值控制着对估计图像所加光滑性约束的强度；CL(u,v)的形状则决定了不同频率所受光滑性影响的程度。该式以平滑度为基础的，挑选恢复解的二阶导数最小的准则。数学上的说法是使TCTC最小，且满足约束条件g-H2=n2下的最优估计问题，其中C称为平滑矩阵。C由Laplacian算子得出，即C是分块循环矩阵，每一分块Cj是由CL(x,y)延伸后的矩阵CLe(x,y)的第j行组成的M×N循环矩阵，其中

3 实验结果与分析

通过在原图像里加入高斯噪声后，再对加入噪声的图像进行恢复，然后利用MATLAB7.0实现约束最小二乘滤波恢复图像及平滑约束最小二乘滤波恢复图像。图1是实验用原图，图2是加入参数值为0.001高斯噪声后的图像，图3是约束最小二乘滤波器恢复的图像，图4是平滑约束最小二乘滤波器恢复的图像，得到比较好的结果。

4 结束语

实验结果表明：利用约束最小二乘方法实现对受到噪声等因素所干扰的数字图像其恢复的效果和原始图像相比还有一定的差距。建立在该方法的基础之上，已经有不少新的恢复算法不断地被提出，而且使得对数字图像的恢复有了越来越好的效果。

参考文献：

[1] 崔屹. 图像处理与分析数学形态学方法及应用[M]. 北京：科学出版社,2000.

[2] 罗军辉, 冯平, 哈力旦. A.MATLAB7.0 在图像处理中的应用[M]. 北京：机械工业出版社,2005.

[3] 沈瑛, 吴建华, 吴禄慎. 由约束最小二乘方法改进的图像恢复方法[J]. 数据采集与处理,2002.

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