探索三角形全等的条件(一)案例与评析
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一、教学目标
1.学生在教师引导下,在积极主动地经历探索三角形全等条件的过程中,体会利用操作归纳而获得数学知识的过程。
2.掌握三角形全等“边边边”的判定方法,能用三角形的全等性质解决一些实际问题。
3.培养学生的推理能力,发展表达能力,积累数学活动经验。
二、教学重点与难点
重点:三角形全等条件的探索过程和运用“边边边”规律解决问题。
难点:三角形全等条件的探索过程,特别是创设出问题后,学生面对开放性问题,要作出全面、正确的分析,并对各种情况进行讨论,这对他们来说确有一定难度。
1.学习方式。为了使学生更好地掌握这一部分内容,就要遵循启发式教学的原则,多以设问形式创设问题情景。如涉及实践活动,就应引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维,使之经历从现实世界抽象出几何模型并运用所学知识解决实际问题的过程,真正把学生放在主置上。
2.课前准备:教师准备一张画有两个全等三角形的白纸。
三、教学过程
1.创设情景,导入新课。
师:大家看几幅美丽图片(投影出示)
部分学生:噢!好漂亮的图片。
部分学生:这些图片都是由三角形组成的。
生1:这些三角形大小那么一致,都是全等的吧?
师:对!这些美丽的图片都是由全等三角形组成的,大家想不想自己用全等三角形设计几幅美丽的图片呢?
生:(齐答):想!
生2:怎样画三角形,画出来的三角形才全等?
生3:画全等三角形需要满足什么条件?
师:问得好!三角形全等需要什么条件呢?这就是我们这节课需要研究的问题。
(出示课题)
点评1:通过投影出示几幅美丽的图案,让学生在感受美的同时激发创造美的意识,培养学习和探索的兴趣,从而调动了学习的积极性。
2.师生互动,探求新知。
师:(出示课前准备的两个三角形)这张白纸上有两个三角形(如下图),在ABC和A′B′C′中,A′B′=AB,B′C′=BC,A′C′=AC,∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,大家猜猜这两个三角形全等吗?
部分学生:全等。
师:我们能否想个办法来验证这两个三角形是否全等?
生4:我们把其中一个剪下来,看是否与另一个重合,若是重合的,那么这两个三角形就全等。
师:对(老师把其中一个剪下来,放在另一个三角形上)大家看,这两个三角形全等吗?
生(齐答):全等。
师:我们从上面的活动中可以看出,满足什么条件的两个三角形一定全等?
部分学生:三条边分别对应相等,三个角分别对应相等。
师:但是,两个三角形全等是否一定需要六个条件?条件能否尽量少些。大家猜猜可能需要几个条件?
生5:5个条件。
生6:1个条件。
生7;3个条件
师:大家说了这么多种情况,我们就从最少的1个条件开始考虑,同时,请大家思考1个条件包括哪些情况。
生8:一边相等。
生9:一边相等;一角相等。
师:对!一个条件包括两种情况:①一边相等;②一角相等。那么,请大家通过画图来探究只有一个相等条件的两个三角形是否全等?
(学生在演草纸上画图,教师适时进行点拨、指导,对某些有困难的学生给予帮助、鼓励,教师收集学生作品,并展示学生作品)
(图1公共边型)(图2公共边型)
师:从上面的图画中,我们可以得出:两个三角形中只有一个条件相等,这两个三角形不一定全等。
点评2:教师提出问题并帮助学生分类后,要让学生自己动手操作,画图验证,这样才能充分培养学生的动手操作能力,为他们提供一个自主探索的空间。
3.自主探索,探究发现。
师:下面我们来研究具有两个相等条件的两个三角形是否全等。在研究之前,我们先分析两个条件分哪几种情况。
生10:两边相等;两角相等。
生11:两边相等;两角相等;一边相等,一角相等。
师:我们综合以上同学的回答得出两个条件分三种情况:①两边相等;②两角相等;③一边相等,一角相等。这样的三角形是否全等,需要大家画图验证。
(学生分小组画图,可以进行分工合作,让部分学生画两边相等,部分学生画两角相等,另一部分画一角相等,一边相等。然后一起交流,看每种情况是否全等。画完之后,教师找每组学生代表回答,并展示自己组内的作品。)
师:所以,只具备两个相等条件的三角形,不一定全等。
点评3:用开放性的教学方法,让学生积极参与课堂讨论,并且通过学生自己动手画图、比较归纳等自主探索活动及师生之间、生生之间的合作交流活动,使他们获取知识和能力。
师:下面,我们就来研究具有三个相等条件的两个三角形是否全等,那么,三个条件又可以分成哪些情况呢?
生12:三角相等;三边相等。
生13:两边、一角相等;两角、一边相等。
师:我们今天先研究三角相等和三边相等的两个三角形是否全等。
生14:刚才在画图的时候,我发现我们组有很多同学用的三角板虽然大小不一样,但却都有一个是等腰直角的。(一边说一边举起两个大小不一样的等腰直角三角板,它们两个虽然三对角对应相等,但是不全等。)
师:这位同学非常细心,他的发现非常正确:老师用的三角板和同学们用的三角板都有一个为等腰直角的,但显然不重合,所以三角对应相等的两个三角形不一定全等,我们来看下面这个题目。
(投影出示)
如图8:已知ABC,画一个A′B′C′,使A′B′=AB,B′C′=BC,A′C′=AC。
师:我们画三角形需要确定它的三个顶点,我们如何才能确定A′B′C′的顶点呢?
生15:我们先画一条边B′C′,使B′C′=BC,就可以确定两个顶点。
师:点A′和B′的距离为多少?点A′和C′的距离为多少?
生16:A′B′=AB。
师:我们怎样做才能使A′B′=AB。
生17:以B′为圆心,以AB的长为半径画弧。
师:同样的道理,我们以C′为圆心,以AC的长为半径画弧,两弧交点就A′,老师演示作图过程,请同学们说出三个主要的步骤。
(投影出示)任意画一个ABC,然后画A′B′C′,使A′B′=AB,B′C′=BC,A′C′= AC。
学生画完图后,将其中一个三角形剪下来,放在另一个上面,看两个三角形是否全等,并与小组中其他同学交流意见,教师收集学生作品,并展示学生代表的作品。
生18:有ABC和A′B′C′,且A′B′=AB,B′C′=BC,A′C′=AC,我将其中一个剪下来,放在另一个上面,发现它们是完全重合的,所以这两个三角形全等。(如图9)
师:我们从上面的活动中发现:三边对应相等的两个三角形全等,简写为(SSS)。(并板书)
4.应用知识,解决问题。(投影出示)
例1.如图10:ABC是一个支架,AB=AC,AD是连接点A与BC的中点D的支架,求证:ABC≌ACD。
师:我们想证明两个三角形全等需要几个条件?为什么?
生19:需要三个条件,由边边边规律可知。
师:题目之中已有哪些条件。
生20:AB=AC。
生21:还有一个公共边AD=AD。
师:对学生回答总结归纳并板书:
证明:D是BC的中点
BD=CD
在ABC和ACD中
AB=AC
BD=CD
AD=AD
ABC≌ACD(SSS)
变式:①证明∠B=∠C②∠ADBC③DA平分∠BAC
点评4:在教师的引导下学会画全等三角形后,让学生在“画一画”、“剪一剪”、“比一比”等一系列活动中,自己得出规律,从而充分培养了学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯,切实提高了学生的动手能力、实践能力。因此,要注重引导学生体验知识的形成过程,学会运用所学知识解决问题。
5.课堂练习巩固拓展:见教材P96思考;P96练习。
(运用所学知识解决实际问题)
6.课堂小结:这节课你学到了什么知识?有什么收获?
7.课外活动。用一些全等三角形设计一个美丽的图案,在下节课上进行交流,看谁设计的图案最美观、最新颖。
四、总评
1.本节课强调学生动手操作,自主探究,注重师生之间的互相合作交流。在一系列探究活动中培养了学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯,切实提高了学生的动手能力、实践能力,并注重引导学生体验知识的形成过程,从而获取知识和能力。
2.注重转变学生的学习方式。本节课的教学内容主要采用了讨论法,即课堂上教师(或学生)提出适当的数学问题,通过学生与学生(或老师)之间相互讨论、相互学习,在问题的解决过程中发现新知识。在教学活动中,通过学生的自主学习来体现他们的主体地位,而教师则通过对学生参与学习进行启发、调整、激励来体现自己的主导作用。另外,在学生合作学习的同时,始终坚持对学生进行“学疑结合”、“学思结合”、“学用结合”的学法指导,这对他们主体意识和创新能力的培养有着积极的意义。