高考数学福建理科卷第18题的背景揭示及感悟

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2 背景揭示

从试题的思想来看，第（Ⅰ）题证明9个点都在同一条抛物线上，考生可从特殊入手，通过合情推理得出结论并加以验证；也可通过演绎推理直接证明，考查考生推理论证的能力； 从题目的背景来看，此题来源于人教版选修2-1教材习题2.2中B组第4题：

实际上，高考题和教材中的题目均来源于研究圆锥曲线的一种产生办法（在这里提供两种证明方法）：

定理2.1 设（0 1）k∈，，在矩形ABCD中，2ABa=，2BCb=（其中0ab>>），E F G H，，，分别是AB BC CD DA，，，的中点，O为EG与HF的交点，R′为CF边上一点且CRkb′=，R为OF边上一点且ORka=，直线ER与直线GR′交于点P，则点P在以2a为长轴长，2b为短轴长，O为中心的椭圆上.

证明1 以HF为x轴，HF的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示.

设点（）P x y，，过点P作PMEG于点M，过点P作PNCD于点N，

定理2.3 设（0 1）k∈，，矩形ABCD中ABa=，BCb=，R为BC边上一点，且BRkb=，直线AR与直线xka=交于点P，则点P在以A为顶点，开口向上，且过点C的抛物线上.

定理2.1～2.3给出了利用矩形等分产生圆锥曲线的方法，对定理2.2、定理2.3的证明与定理2.1类似，不再赘述.推论2.1在双曲线和抛物线中也有类似的结论，限于篇幅，不再赘述.

3 感悟反思

3.1 透过特殊现象，抓住问题实质

数学语言的表达时常较为形式化，但形式化的数学表达往往隐含着深刻的内涵.在数学教学中，处理好形式与本质、抽象与直观的关系，对学生掌握数学知识，提高学生在新数学情境中处理问题的能力有很重要的作用.

2013年高考福建理科卷第18题和人教A版教材（福建省主用教材）选修2-1习题2.2中B组第4题，都是检验题设中的点是否在给定的圆锥曲线上.笔者在本文中2的论述表明，这两个问题的本质是一样的，都是研究圆锥曲线的生成或其相关性质，这一性质在测绘方面有较为广泛的应用，高考题正是以课本习题为背景并体现教材中的数学知识的生活实用价值.在教学过程中，除了给学生介绍必要的解题方法之外，还要适当挖掘问题的内涵与外延，让学生掌握数学问题的本质，同时挖掘数学与生活的联系.

3.2 以考纲为基础，用好教材进行教学

在平时教学中，我们可以结合教材提供的材料为学生设置一个探究性的课题，让学生进一步感受三种圆锥曲线的联系，享受数学知识的和谐美.在问题的研究过程中，丰富学生关于圆锥曲线生成的认识，还可以启发学生探索研究圆锥曲线的性质，有助于加深学生对圆锥曲线的认识.

数学教材对教师在教学内容方面进行了规定，而新课程背景下的数学教学，应该对教材内容进行深入挖掘，合理利用好教材提供的各种素材，利用教师自身专业素养对教材进行开发，结合学生的特点进行教学.

3.3 钻研不同版本教材，开发校本教材

本文2中提到的问题，在苏教版选修2-1《圆锥曲线》一章的“思考·运用”板块中有类似的叙述（表现的形式有所差异，本质相同，感兴趣的读者可以查阅，这里不再赘述）.另外，苏教版教材在选修2-1《圆锥曲线》一章的“探究·拓展”板块中还提供了利用圆锥曲线的切线的包络产生圆锥曲线的方法（在文[1]中有相关研究）.可见，苏教版教材注重圆锥曲线性质研究的同时还注重其生成方法的探究.一线教师如果能在教学过程中，对不同版本的教材进行比较研究，取长补短，可以有助于加深对同一类问题的认识.

随着课改的进行，不同版本的数学教材相继发行.虽然每个版本的教材都是围绕着《课程标准》进行编写，但是由于不同编写组的所站的角度不同，编写教材所供使用的范围不同，使得每个版本的教材各具特色.这恰恰是不同版本的教材存在的意义，大大增强了教材的适用性，使数学教学进入个性化时代，切实做到“百家争鸣”.另一方面，不同版本的教材也为教学工作者提供了丰富的教学参考材料.教材编写组是由对应领域专家组成的，不同版本的教材正为教学工作者提供不同学者对同一问题的不同看法，为教学研究提供了丰富的材料.作为一线教师，应当站在“巨人”的肩膀上，结合学生的特点，组织教学内容，进行校本教研.