例析一类数学阅读理解型试题

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阅读理解型题是近年来中考数学命题的热点和常见题型之一。阅读理解型问题具有内容丰富、构思新颖别致、题样多变、知识覆盖面较大等特点。它可以是阅读课本原文，也可以是设计一个新的数学情境，让学生在阅读的过程中，理解其中的内容、方法和思想，然后在把握本质，理解实质的基础上作出回答。这类试题要求考生能透彻理解课本中的所学内容，善于总结解题规律,并能准确阐述自己的思想和观点，重点考查学生对数学知识的理解水平、数学方法的运用水平及分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力、随机应变能力和知识迁移能力等。下面通过具体的中考题来说明这类题型的解题思路。

一、紧扣定义，应用定义

有些问题给出了我们未曾见过的新的定义或新的运算，这就需要我们紧扣定义，深刻理解，灵活应用定义。

例1 (2006年安徽)如图(1)，凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD=∠APB=α。且∠BPC=∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点。

(1)在图(3)正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β。

(2)在图(4)四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹(不需写出画法)

(3)若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2(如图(2))，证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点。

解答如下：(1)连AC，AC上任取一点P都是半等角点(A、C两点除外)。

(2)(如下图1)画点B关于AC的对称点B'，延长DB'交AC于点P，则点P为所求。

(3)(如下图2)连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意得：∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C，

∠AP1B+∠BP1C=180°

P1在AC上，同理，P2也在AC上

在DP1P2和BP1P2中，

∠DP1P2=∠BP1P2，∠DP2P1=∠BP2P1，P1P2公共边。

DP1P2≌BP1P2DP1=BP1、DP2=BP2、于是B、D关于AC对称。

设P是P1P2上任一点，连PD、PB，由对称性，得：∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，所以点P是四边形的半等角点。

评析 通过阅读理解半等角点的定义，并能运用定义进行解题。

二、理解结论，类比推广

有些问题给出了一种新的情景，要求考生通过理解，把它和所求的结论进行归纳类比，找出它们的共同点，将结论进行推广，实现问题的转化。

例2 (2006年山东青岛)我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”。数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透。

数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案。

例如，求1+2+3+4+…+n的值，其中n是正整数。

对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法(首尾两头加)，问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论。

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