应用题解答的四个“雷区”

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应用题是高考中难度较大、失分较多的一类题，解题过程除了要能综合运用数学知识以外，更为关键的是要具有较强的数学建模能力.而在数学建模过程中，往往比较容易发生错误，以下便是最为常见的四种.

一、将“特定意义”误读为“通常意义”

例1为提高信息在传输过程中的抗干扰能力，常在原信息中按一定规律加入相关数据组成传输信息.设原信息为ａ0ａ1ａ2，ａｉ∈｛0，1｝（ｉ＝0，1，2），则传输信息为ｈ0ａ0ａ1ａ2ｈ1，其中ｈ0＝ａ0?堠ａ1，ｈ1＝ｈ0?堠ａ2. ?堠运算定义为：0?堠0＝0，0?堠1＝1，1?堠0＝1，1?堠1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰仍然可能导致接收信息出错，下列接收信息一定有误的是

（A） 11010 （B） 01100 （C） 10111（D） 00011

错解：根据二进制“逢二进一”的规则，若原信息为“110”，则接收信息中最左边的一个数字应是“1”，故B必错，选B．

分析： 错解没有审清题意，误以为运算“?堠”就是二进制中的“加法”．其实题中对运算符?堠的规定，前三式确实与二进制中的加法相同，可第四式的运算1?堠1=0是不同的.

正解：本题是实际问题中的一个对应关系模型，ａ0ａ1ａ2按运算规则对应ｈ0ａ0ａ1ａ2ｈ1，则011对应10110，故C是错误的．

预防措施：仔细审题，抓住关键语句，在与“普通意义”的区分中领会其“特定意义”．

二、将“实际问题”混同于“纯数学问题”

例2某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（ｘ≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48ｘ（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

（注：平均综合费用=平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用=购地总费用/建筑总面积）

错解：每平方米平均综合费用ｆ（ｘ）＝（560+48ｘ）+＝560+48ｘ+≥560+14.4＝574.4（元），当且仅当ｘ＝，即x=时，有ｆ（ｘ）min=574.5（元）．

分析：本题要求函数最值，错解的建模思路是正确的，但整个解题过程总共犯了三处错误：一是搞错了单位，条件中的“2160万元”与“560+48x（单位：元）”单位不同，错解仅关注数字而没有注意单位；二是题中的楼层数ｘ应是一个不小于10的正整数，错解误认为“ｘ为正数”；三是应用题一般要求最后有明确的回答，如“答：……”，错解忽视了这一步．总而言之，错解没有正确地区分应用题和纯数学习题.

正解： ｆ（ｘ）＝（560+48ｘ）+＝560+48ｘ+（ｘ≥10，ｘ∈N*）． ｆ（ｘ）≥560+2×48×15=2000，当且仅当x=，即x=15时，有ｆ（ｘ）min=2000（元）．

答：为使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层.

预防措施：区分实际问题与单纯数学问题的不同，求解时多关注应用题中的度量单位与变量在实际意义下的限制条件，明确“对实际问题作最后回答”是解应用题必不可少的一步．

三、将“简单问题”建立成“复杂模型”

例3如图1所示，甲船以30海里/小时的速度向正北航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A2处时，乙船位于甲船北偏西105°方向的B2处，此时两船相距20海里；当甲船航行20分钟到达A1时，乙船航行到甲船北偏西120°方向的B1处，此时两船相距10海里，问乙船的航行速度为多少？

错解：如图2所示，连接A1B2． A1A2=10，A2B2=20，∠B2A2A1=105°， A1=202+（10）2-2×20×10×cos105°＝600+400cos75°＝600+400××＝400+200，故A1B2＝10（1+）. 又cos∠B2A1A2 ＝＝…. （此处计算出错，导致后面解答错误）

分析：错解所建立的模型并没有错，但解题过程冗长，计算过于烦琐，其实是不可取的．这种情况下，尤其当处在高考考场中时，一定要思考是否有更优的模型.

正解：连接A2B1（见图3），则有A1A2＝B1A1＝10，∠B1A1A2＝60°，从而知B1A1A2是正三角形，得B1A2＝10，∠B1A2B2＝45°． 在B1A2B2中，由余弦定理求得B1B2＝10． 故乙船航行速度ｖ＝＝30（海里/小时）．

答：乙船航行速度为每小时30海里．

预防措施：当所建模型较复杂时，应考虑用其他较为简单的模型，而不是一味地埋头苦算．

四、将“数学术语”等同于“生活用词”

例4在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5，6的6个完全相同的小球．现从中先后取出两个小球，则取出的两个小球的标注数字出现3或6的概率是．

错解：以ｘ，ｙ分别表示先后取出的两个球所标注的数字，ｘ，ｙ∈｛1，2，3，4，5，6｝，事件总数为・＝30． 当x=3时，y可取1，2，4，5；当y=3时，x可取1，2，4，5. 当x或y取3时事件数为8；同理，当x或y取6时事件数也为8，故所求概率为P=．

点评：错解中将数学中的逻辑联结词“或”理解为日常用语“或”了，将一个和事件当成了“二选一”的事件，曲解数学术语导致错误．

分析：事件总数为30．当x=3或6时，共有10种情况（含（3，6）与（6，3）两种情况）；当ｙ＝3或6时，则有10-2=8种情况（（3，6）与（6，3）两种情况与ｘ＝3 或6时重复），因此正确答案应为P＝＝．

预防措施：深刻理解各个数学概念，明确其含义.