浅谈三角问题与代数问题的相互转化

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇浅谈三角问题与代数问题的相互转化范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

摘要：该文结合几道较为典型例题阐述了如何进行三角问题和代数问题之间的转化，从而使一些繁难的数学问题转化为比较简单的数学问题，使原本隐蔽的数学关系明朗化，进而能用我们熟悉的方法来解决，体现了数学化繁为简、化难为易的原则。

关键词：三角问题；代数问题；转化

中图分类号：G633.62 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2014）05-0170-01

通过深入理解三角函数的意义及常见公式结构，可以发现，一些数学问题和三角问题，可以通过相互转化，使隐含的数学关系明朗化，从而转化为相对简单的问题，从而能用我们熟悉的方法来解决，以达到简化问题的目的。

三角函数之间存在的一些常见的公式或恒等式，不妨称之为"三角模式"，若代数问题中蕴含着与这些"模式"相似的结构，就可利用这些"模式"将其转化为三角问题，从而使问题简化。

例1：求函数y=4-x2+x的值域。

先看下面的解法：

将y=4-x2+x移项平方整理，得：

2x2-2xy+y2-4=0

x∈R

=（-2y）2-4×2（y2-4）=-4y2+32≥0

从而得：-22≤y≤22。

我们如果仔细分析就会发现此题中的x并非可取一切实数，而是应该满足4-x2≥0，即-2≤x≤2。因此这种解答是错误的。

倘若我们根据这个函数的代数结构特点运用三角代换，则可避免出现上述错误。

解：设x=2cosφ， φ∈[0，π]（-2≤x≤2）

得y=

=2|sinφ|+2cosφ（sinφ≥0）

=2（sinφ+cosφ）

=22sin（φ+π4）

易知π4≤φ+π4≤5π4

-22≤sin（φ+π4）≤1

故-2≤22sin （φ+π4）≤22

即-2≤y≤22

因此所求函数值域是[-2，22]

注意：用2cosφ去替换x时，必须对角φ的取值范围作必要地限制，才保证了两者的取值范围一致，从而使得运算结果正确。

例2：求证

分析：本题若利用直接代数方法证明较繁，但仔细观察每一个分式的结构与两角差的正切公式，tan（x-y）=的右端的结构很相似，这就启发我们不妨利用三角公式转化成三角问题来证明。

证明：设 a= tan x，b= tan y，c= tan z，

则左边= tan （x-y）+ tan （y-z）+ tan （z-x）

= tan （x-y）+ tan [（y-z）+（z-x）][1- tan （y-z） tan （z-x）]

= tan （x-y）+ tan （y-x）- tan （y-x） tan （y-z） tan （z-x）

= -tan （y -x） tan （y-z） tan （z-x）

= tan （x-y） tan （y-z） tan （z-x）=右边

即

结合上面两例我们发现，有些代数问题用代数方法感到不方便，甚至很困难时，如果它恰能符合某些"三角模式"时，用转化为三角问题的方法去解时往往能柳暗花明。

三角问题我们一般还是用三角方法去解。但当用三角方法不方便甚至很困难时，这时就可以考虑将其转化为代数问题的方法去解。

例3：已知csc2xsin2y=cos2ycos2z=1

求证：cot2x tan2y=sin2z

分析：此题若直接运用有关的三角公式去证明不容易证出来，但通过换元，化为代数问题来证则比较方便。

证明：令cot2x=a， tan2y=b， sin2z =c，则已知条件可转化为（1+a）（1-11b）+11b（1-c）=1

通过变形整理，（1+a）b+（1-c）=1+b，从而得ab=c，

再将所设关系式重新代回上式便得cot2xtan2y=sin2z。

例4：已知ABC的底边BC长为a，底边BC边上的高也是a，求sinA+2cosA的最小值。

分析：此例中sinA+2cosA若求最大值较容易，但求最小值却容易因为忽略隐含条件而出错。若由sinA+2cosA=5sin（A+φ） ≥-5，得最小值是-5，这就错了，因为sinA+2cosA要取最小值时A+φ应取到3π2，而0

解：设其余两边AC=b，AB=c.

则sinA+2cosA=

=（S[ABC]=12a2=12bc sinA）

=（利用余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA）

=（当且仅当b=c时取等号）

故所求最小值是2。

通过以上几例我们看到，一些三角问题和代数问题之间有时是可以进行相互转化以达到化繁为简的目的。在相互转化的过程中应结合式子的特殊结构，选择合适的方式进行才能更好地解决问题。另外还应注意转化的条件是否成立。