小口诀,大用途

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【摘要】 在高等数学诸多重难点问题中，无穷和式极限的求解无疑应当算作其中的一个.如果运用定积分概念和牛顿莱布尼茨定理，巧借 “等分，右端点，夹挤定理求极限”这个口诀，就能够比较容易地求解某些无穷和式的极限难题.

【关键词】 无穷和式极限问题；研究

实践教学中发现，学生们在计算一些复杂函数的极限，尤其是解答无穷和式极限问题时，常常不得要领，无从下手，该问题自然而然地成为了高等数学的教学重难点内容.

众所周知，定积分概念中蕴藏着无穷和式极限思想.从定积分概念的引入和定积分定义式的根本内涵分析来看，无穷和式极限可以被转化为定积分，如果再结合牛顿莱布尼茨定理，对转化后得到的定积分式进行简单计算，便可以很好地解决无穷和式极限的求解难题.

一、定积分概念与无穷和式极限的密切关系

定积分概念源自于曲边梯形面积的计算.如何去求这个由y=0，x=a，x=b，和y=f（x）（x≥0）三直一曲四条线围成的不规则图形面积呢？

早在公元250年左右，我国古代数学家刘徽，就开始了用三角形近似替代扇形求圆面积的尝试，研究发明了割圆术，并证明了圆周率.受此启发，后人们通过不断探索与研究，逐步形成了“大化小，常代变，近似和，取极限”的微积分思想.

在高等数学的各类教材中，一般都沿循上述思路，以矩形近似替代相应的曲边梯形，通过分割、近似替代、求和、取极限四个步骤的运算，最后得到曲边梯形的面积公式：S=lim λ0 ∑ni=1f（ξi）Δxi.并以此为根据引入了定积分概念，同时还得到了定积分定义式：lim λ0 ∑ni=1f（ξi）Δxi=∫baf（x）dx，其中，Δxi是[a，b]将任意划分成n个小区间后，第i个小区间[xi-1，xi]的长度，ξi是[xi-1，xi]中的任意点，λ=maxi≤i≤n{Δxi}.这里的∫baf（x）dx只是无穷和式极限的lim λ0 ∑ni=1f（ξi）Δxi的简写形式，仅仅是一个记号.注意到当λ0时，即n+∞，因此定积分定义式的左端极限式恰为一个无穷和式极限lim n+∞ ∑ni=1f（ξi）Δxi.也就是说定积分是无穷和式极限的代名词.

二、无穷和式极限转化为定积分的实用技巧

仔细观察定义式lim λ0 ∑ni=1f（ξi）Δxi=∫baf（x）dx不难发现，在ξi与自变量x，f（ξi）与f（x），Δxi与dx以及和式极限符号与积分号之间，存在着一系列的对位关系，如果技巧性地将闭区间[a，b]任意划分成n等分，特殊地取ξi为[xi-1，xi]的右端点xi（即ξi=xi），我们便可以根据这些对位关系，利用定积分定义式来简化表示无穷和式极限了.实践教学中，为方便学生掌握转化技巧及方法，可按照以下的“n等分，右端点，夹挤定理求极限”实用口诀来帮助解题.将闭区间[a，b]划分成n等分，使每个小区间长度都是Δxi= b-a[]n ，再取ξi为[xi-1，xi]的右端点（即ξi=xi=a+ b-a[]n i），就是我们所讲的“n等分，右端点”技巧了，由此一来便可轻松得到lim n+∞ ∑ni=1f（ξi）Δxi=lim n+∞ ∑ni=1 b-a[]n f a+ b-a[]n i =∫baf（x）dx.达到化简无穷和式极限的目的.特别地，闭区间为[0，1]时，将[0，1]划分成n等分后，Δxi= 1[]n ；再取ξi为右端点（即ξi=xi= i[]n ），此时公式就简化为：lim n+∞ ∑ni=1f（ξi）Δxi=lim n+∞ ∑ni=1 1[]n f i[]n =∫10f（x）dx.可以看到，使用该技巧后，无穷和式极限变成了简单易求的定积分式.

在求解无穷和式极限问题时，常常需要用到夹挤定理（也称夹逼准则）.夹挤定理的实质，是对目标函数进行放大和缩小处理，如果大函数和小函数极限都存在且相等，那么可以断定夹在中间的目标函数也就自然与它们的极限相同.该原理虽然很简单，但实际应用中须注意要先将大、小函数的无穷和式极限转化成定积分，再用合适的办法计算定积分值，以此来确定大、小函数的极限值.

三、牛顿莱布尼茨定理在无穷和式极限计算中的作用

牛顿、莱布尼茨两位数学家，借助不定积分的计算方法，同时融合微分中值定理和积分中值定理的思想和结论，推出了计算定积分的基本方法：设F（x）是连续函数F（x）在区间[a，b]的一个原函数，则∫baf（x）dx=F（b）-F（a）.此即著名的牛顿莱布尼茨定理.牛顿莱布尼茨公式在解决了定积分计算方法的同时，也为求解无穷和式极限难题提供了技术保证.

实践证明，无穷和式极限在被转化为定积分后，利用牛顿莱布尼茨定理将极大地简化题目的计算.

四、应用举例

在应用口诀将无穷和式极限转化为定积分时，须重点关注和式极限中的“ 1[]n 和f i[]n ”，或“ b-a[]n 和 a+ b-a[]n i ”，这两对函数是转化的关键，必要时需对无穷和式极限进行针对性地变形处理，此外还要特别注意 1[]n 和f i[]n 所对应的积分区间为[0，1]，而 b-a[]n 和 a+ b-a[]n i 所对应的积分区间则是[a，b]，熟记以上特征，会对明确转化思路和顺利解题大有帮助.

五、小结与反思

从实际教学反馈来看，口诀能帮助学生迅速地掌握这类题型的解题原理和方法，课后作业的正确率很高，学习效果良好，既加深了他们对定积分概念的更深理解，又对“无穷多个无穷小的和未必是无穷小”这一结论有了进一步认识，与此同时，还为下一步能更好地学习定积分应用方面的知识打下了良好基础.从教学角度思考，如果能借助简单易记的口诀，帮助学生理解晦涩难懂的理论问题，掌握复杂题目的计算方法，一有助于理解，二能方便学习，三又增强了课堂的趣味性，这的确不失为改进教学方法，提高教学质量的良方妙药.

【参考文献】

[1]郭书春.九章算术译注.上海古籍出版社.ISBN：9787532554331，2009.12.01.

[2]同济大学数学系.高等数学（第六版 上册）.高等教育出版社.2007年4月第六版.

[3]吴传生.经济数学――微积分.高等教育出版社.2009年4月第2版.

[4]李军英，刘碧玉，韩旭里.微积分（上册）（第二版）.北京：科学出版社，2008年7月第二版.