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以道求简,大道至简

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摘 要:本文将恒成立、能成立的“混搭”问题追溯到最基础的“?坌”、“?埚”两个量词的解读.事物的发展往往是由简单到复杂,而复杂之后人们又在不断追求着简单,从复杂背景中把握简单的本质,从复杂问题中发现简单的方法,即在追简的过程中悟“道”,以道求简,达到大道至简的境界.

关键词:恒成立能成立;溯根追源;以道求简;大道至简

《利用搭桥法处理不等式中恒成立与能成立的“混搭”问题》(作者:徐加华,简称文【1】)一文发表在《数学通讯》2013年第12期(下半月),文中探讨了如何用“搭桥法”处理不等式中恒成立与能成立的“混搭”问题,并且为了行文方便,对文中的y=f(x),y=g(x)进行约定均存在最大值和最小值. 文首先介绍了不等式中恒成立与能成立的基本题型,即(1)a≥f(x)恒成立?圳a≥f(x)max;(2)a≤f(x)恒成立?圳a≤f(x)min;(3)a≥f(x)能成立?圳a≥f(x)min;(4)a≤f(x)能成立a≤f(x)max. 接着,文详细探讨了能成立与恒成立“混搭”的4种基本类型:(1)x∈A,x∈B,f(x)>g(x)成立;(2)x∈A,x∈B,f(x)>g(x)成立;(3)x∈A,x∈B,f(x)>g(x)成立;(4)x∈A,x∈B,f(x)>g(x)成立(以上A、B为非空数集,这里仅考虑f(x)>g(x),其他情况类似处理). 然后用“搭桥法”分别将以上4种类型转化为基本题型来解决,如对于恒成立与能成立“混搭”问题的(1)“x∈A,x∈B,f(x)>g(x)成立” “x∈A,x∈B,f(x)>M>g(x)成立”,而“对x∈A,f(x)>M成立”“f(x)min>M”(恒成立),“对x∈B,M>g(x)”(恒成立)M>g(x)max. 这样,“x∈A,x∈B,f(x)>M>g(x)成立”“f(x)min>M>g(x)max”. 于是“x∈A,x∈B,f(x)>g(x)成立”?圳f(x)min>M>g(x)max.

虽然“搭桥法”即用“中介值”也是数学解题中常用的策略,但这样分析恒成立与能成立问题会不会太繁杂,会不会把学生弄得更晕呢?本人觉得解题宜自然、简捷.下面谈谈本人对此类问题的看法.

溯根追源――“恒成立”、“能成立”问题由来

追溯命题产生的过程,就是寻求命题生长的根,从逻辑关系看,也就是溯源命题的逻辑起点. 短语“所有的”、“任意一个”、“每一个”在陈述语句中表示所述事物的全体,逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“ ”表示,含有全称量词的命题叫全称命题;短语“存在一个”、“至少一个”、“有”在陈述语句中表示事物的个体或部分,逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“?埚”表示,含有存在量词的命题叫特称命题.全称命题的形式:P:“x∈M,p(x)”x∈M,p(x)成立”“x∈M,p(x)恒成立”. 可见,“恒成立”其实就是为了与全称量词“ ”进行首尾呼应,由此,产生了“恒成立”问题(或称“任意性”问题). 特称命题的形式:q:“x∈M,q(x)”?圳“x∈M,q(x)成立”“x∈M,q(x)能成立”. 可见,“能成立”其实也是为了与存在量词“ ”进行首尾呼应. 由此,产生了题型“能成立”问题. 同时,还需注意,全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,即命题P:x∈M,p(x),则p:x∈M,p(x);命题q:x∈M,q(x),则q:x∈M,q(x),这就意味着“恒成立”与“能成立”需要时可以互相转化.

命题解读――“恒成立”、“能成立”问题分析

通过命题的溯根追源,对“恒成立”、“能成立”问题解读关键是回归到最基础的“?坌”、“?埚”两个量词的解读,即回归到两个词语“所有”还是“有”的正确理解,为了帮助学生准确理解“所有”、“有”,可以打比方. 如:“我们班所有人都比我小”,“我们班有人比我小”,要求同学们,只能选出一人来与我比,应选谁出来呢?这时,学生很容易找到前者应找“最大”,后者应找“最小”与“我”比较;又如“(1)班所有人都比(2)班所有人小”,“(1)班有人比(2)班所有人小”,要求每班也只能选一人出来比,应怎么选呢?显然,前者应选“(1)班最大的与(2)班最小的比”后者应选“(1)班最小与(2)班最小的比”. 现在,换成比函数值,如“?坌x∈A,f(x)≤a恒成立”,即“f(x)所有值≤a”,即f(x)max≤a;“?埚x∈A,f(x)<a能成立”,即“f(x)有值

反思感悟――以道求简,大道至简

事物的发展往往是由简单到复杂,所谓“一生二,二生三,三生万物”便是如此;而复杂之后人们又在不断追求着简单,所谓“大道至简”便是体现. 简单蕴涵了事物的简练性、朴素性,复杂蕴涵了事物的发展性、整合性. “恒成立”与“能成立”正是由简单的两个量词“?坌”、“?埚”衍生出来,对两个量词再进行组合就衍生出了更复杂的“多元恒成立、能成立”问题,问题复杂之后,如何化繁为简呢?笔者认为应该“以道求简”,数学中的“道”指的是数学中的核心概念、问题实质、本质属性、统一模式、贯通线索、不变规律、思想方法、通性通法等等. 数学的特性之一简洁性,数学的本质在于求简,数学中的“简”就是要用简明的视角、简要的设计,内容上删繁就简,形式上去繁就简,思路上化繁为简,解题上自然简捷,情境上简单明了,语言上精炼简要,表达上简明扼要. 数学教学中要渗透由简单到复杂的思想,让学生能够循序渐进地认识事物,理清知识之间的关系,从复杂背景中把握简单的本质,从复杂问题中发现简单的方法,即在追简的过程中悟“道”,以道求简,达到大道至简的境界.