泰勒展开求 型未定式极限的一种新方法
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摘 要：首次将泰勒（Taylor）公式引入到 型未定式中，试图简化极限的运算。
对于型未定式求极限，我们知道有未定式之间的转化后的洛必达（L’Hospital）法则以及重要极限计算的方法。但是对于，，模型中的表达式求导很麻烦的时候，我们想到利用最常用的多项式代替复杂函数的思想，进而想到大学数学中逼近论的著名应用-泰勒展开。泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f，设它在点存在直到n阶的导数，由这些导数构成一个 次多项式
称为函数f在点处的泰勒多项式，若函数f在点存在直至n阶导数，则有即
称为泰勒公式。泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异.定性的余项如佩亚诺型余项，仅表示余项是比（当时）高阶的无穷小.如，表示当时，用
近似，误差（余项）是比x3高阶的无穷小.定量的余项如拉格朗日型余项，（也可以写成）、柯西余项（如在某些函数的幂级数展开时用）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究。
泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式是高等数学的一个重要内容，在各个领域有着广泛的应用，不少书中利用它来判断函数的单调性、极值，由于泰勒公式的广泛应用，所以尝试利用泰勒公式来研究函数的凹凸性和拐点。泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用，它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。本论文关键是将泰勒公式应用到了未定式极限的简化求解中。将泰勒公式应用到待定型的极限问题中，一般来说，都可以采用洛必达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛必达法则的情况，泰勒公式往往是洛必达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项. 带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ，运用得当会使求函数的极限变得十分简单。当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限。这种思想给了我们在极限里的一种启迪，由此，我们将泰勒公式的思想用到了未定式极限的求解中。
在引入定理前，我们给出了与定理相关的预备知识。
对于一般函数f，设它在点xo存在直到n阶的导数，由这些导数构造一个n次多项式
称为函数f在点xo处的泰勒（Taylor）多项式，T n （x） 的各项系数称为泰勒系数。
这是函数f在点xo存在直至n阶导数。
泰勒公式在xo =0 时的特殊形式：
称为麦克劳林（Maclaurin） 公式。
如果函数f（x）在点x0的某邻域内具有n+1阶导数， 则对此邻域内的点，有
这是带有拉格朗日（Lagrange）型余项的泰勒公式。
我们把两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限统称为未定式极限未定式的极限有
对于型未定式极限的求法， 大学数学的教科书里， 一般给出的是两种方法。具体来讲，一种是直接利用重要极限来计算，即
或者
这些形式都是大学数学书中的重要型未定式极限的公式。第二种方法，是将取对数后化为型，再转化为洛必达法则来进行计算。这些是大学数学中求型未定式极限的重要的两种方法。下面我们根据泰勒公式在实际中的重要应用，将其引入到型的未定式的计算中，这种将多项式展开的形式应用到极限中的思想，可以化复杂的形式为加和的简单逼近。逼近思想在大学数学书中，是一种化复为简，提高计算效率的一种思想。而极限本质就是一种逼近，将接近极限本质的泰勒展开结合起来，更好的解决了在求极限中的未定式时，一些求导复杂的计算。下面我们重要的定理：
定理 设，， 如果在0点存在泰勒展开，即，
，则
其中，.
证明：
由于 ，，则属于的未定型。根据在0点存在泰勒展开，即，
我们可以得到
从定理可以看出，泰勒展开的引用，避开了一些复杂求导的运算，使得 型未定式的计算更加简便。下面我们给出了相关的例题应用。
例
解
显然，将泰勒展开应用到这样类型的极限求解中，同等条件下，会比未定式之间的转化后的洛必达（L’Hospital）法则以及重要极限计算的方法，更加简单。
参考文献：
[1] 华东师范大学数学系编.数学分析[M].高等教育出版.
[2] 常庚哲编.数学分析教程[M]. 高等教育出版.