初中数学反例教学如何开展

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中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）12-384-01

通过不断学习和请教有经验的老教师，加之自己多年来的教学经验，本人谈谈初中数学中用到的反例教学。

一、实数与代数式中的反例教学

我在讲授《实数》时，判断：两个无理数的和一定是无理数。学生们马上做出判断，并举出几个反例如π与-π；根号2与负根号2，它们的和都等于零是有理数。这些反例的共同特征是：互为相反数的两无理数和为有理数，这样的反例有无数个。在此基础上，我进一步地问：两个无理数的积一定是无理数吗？通过对这些问题作更多更深入的一些研究，这不仅可以培养学生思维的发散性，还可以加深对有理数、无理数概念的理解，弄清有理数和无理数之间的关系。引导学生举反例，使学生敢于和善于发现问题或提出问题，提高学生的思维能力。

二、反例在方程中的作用

为了让学生明确一元二次方程必须同时满足以下3个条件：（1）方程两边都是整式；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。在讲完这一概念后，教师可以马上举出一些反例，让学生判断它们是否为一元二次方程，若不是，让学生说明理由。以此使学生进一步巩固所学的内容。

显然方程（1）、（3）、（4）（6）不是一元二次方程，因为（1）式不是方程，方程（3）含有两个未知数，（4）的左边不是整式，方程（6）的未知数的最高次数为3，这些都与一元二次方程的条件不相符。但仍有一部分学生判断不出来，特别是方程（1）、（4）、（5）容易出错，因此，可以在这里先带领学生简单地复习一下整式和方程的概念。对于方程（5），应注意提醒学生其中的π是常数而不是字母。这样，当教师结合这6道小题再次分析一元二次方程的三个条件时，学生就会更深刻地理解什么样的方程才是一元二次方程。

三、几何中的反例教学

我在教学《正多边形和圆》时，设计了一个问题：各边相等的圆内接多边形一定是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么，如果不是，举反例说明。学生们都知道：各边都相等，各角也相等的多边形是正多边形。为了加深学生对正多边形的一些性质的理解，我从反面进行巩固。显然，各边相等的圆内接多边形的各角也相等，它是正多边形，各角相等的圆内接多边形不是正多边形，例如矩形等。

又如：《四边形》中，为区分各四边形的概念。可设计此题：

抢答：判断下列命题是否正确，如果错误，请说明理由。

1、对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形。（对）

2、两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形。（对）

3、邻角相等的四边形是菱形。（错，可以是矩形）

4、有一组邻边相等的四边形是菱形。（错，一般四边形满足一组邻边相等但不是菱形）

5、一组邻边相等的矩形是正方形。（对）

6、有一个角是直角的平行四边形是正方形。（错，可能是矩形）

同学们情绪高涨，迅速动手动脑，到第（4）题时，个个争相画图演示。数学反例是数学课堂教学中一个调节器，在数学教学中，适时地引进一些反例或适当地引导学生构建反例，往往能使学生在认识上产生质的飞跃，帮助他们巩固已学知识。

数学学习过程中，对于一些不易理解和掌握的知识点，学生常常容易混淆或忽略它们的某些本质属性，尽管教师反复强调，学生还是容易出错。如果教师在讲解过程中能够适当地举一些反例，通过反例来加强学生对这一知识点的理解，将会有意想不到的收获。

例如，在讲解三角形全等的判定方法时，其中的一种方法是“有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（SAS）”，这里，必须强调“夹这个角的两边”。因此，教师可以提问学生“有一个角和两边对应相等的两个三角形一定全等吗？”由于和教材中的定理不一致，大部分学生肯定会回答说“不一定”，这时教师继续追问“你能举出一个反例来说明吗？”即让学生用反例来说明命题“有一个角和两边对应相等的两个三角形全等”是错误的。在学生讨论时，教师提示：“可以画出图形来说明。”此时课堂气氛活跃，学生个个跃跃欲试，都在画图尝试。最后，全班一起总结、交流，归纳出反例，列举如下：

（1）在等腰ABC中，AB=AC，D是BC上一点，则在ABD和ACD中，满足一角（∠B=∠C）和两边（AB=AC，AD=AD）对应相等，显然ABD和ACD不全等。

（2）如图2，在ABC中，延长BC至D点，连接AD，使AD=AC，则在ABC和ABD中，满足角（∠B=∠B）和两边（AB=AB，AD=AC）对应相等，显然ABC和ABD不全等。

（3）如图3，在等腰梯形ABCD中，AB=DC，连接BD，则在ABD和CDB中，满足一角（∠ADB=∠CBD）和两边（AB=DC，BD=BD）对应相等，显然ABD和CDB不全等。

通过上述反例教学，学生清楚地认识到：在运用这一判定方法时，必须是“一角和夹这个角的两边（SAS）”，而不是“一角和任意的两边（ASS）”。并知道了由上述反例可以说明命题“有一个角和两边对应相等的两个三角形全等”是错误的命题。这样的反例，使学生印象深刻，有利于学生对知识点牢固掌握。

总之，通过反例教学，可加深学生对基本概念的理解和对基础知识的掌握，发现并纠正学习中的错误，培养学生的创新能力和良好的思维品质.在初中数学教学中，恰当地应用反例进行教学，引导学生从反面去思考问题，将有助于数学教学质量的提高和学生数学素质的培养。只要教师在教学过程中合理地运用反例，适当地构造反例，就能使学生不断地完善数学概念，提高分析、判断问题的能力，从而达到事半功倍的教学效果。