突破向量中的求值问题
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向量是沟通代数与几何的重要工具，它在日常生活中，生产实践中以其他相关学科中有着广泛的作用，是高中数学中用于解决立体几何问题的一种锐利武器,是一颗将几何问题转化为代数问题的璀璨明珠.为此,利用平面法向量解决几何问题也成了近年来高考命题的热点.本文就平面法向量的求法及在高考试题中的应用作简要介绍,以期抛砖引玉.
例1 （2010年全国高考11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PA•PB的最小值为（ ）
(A) -4+2 (B)
-3+2
(C) -4+22 (D)
-3+22
命题意图:本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.
解析1:如图1所示：设PA=PB=
x(x>0)
,∠APO=α,则∠APB=2α，PO=
1+x2,sinα=1
1+x2,
PA•PB
=|PA|•|PB|
cos2α=
x2(1-2sin2α)=
x2(x2-1)
x2+1
=x4-x2 x2+1
，令
PA•PB=y
，则
y=x4-x2 x2+1
，即x4-(1+y)x2-y=0，由x2是实数，所以
Δ=［-(1+y)］2-4×1×
(-y)≥0,y2+6y+1≥0
，解得
y≤-3-22
或
y≥-3+22
.故
(PA•PB)min
=-3+22
.此时
x=2-1
.
解析2:上同解析1得到
y=x4-x2
x2+1
，令
t=x2
求导得到
y′=t2+2t-1
(t+1)2
,
当0
y′>0,t>2-1时，y′
所以当
t=2-1，
x=2-1
时，y取得最小值,最小值为-3+22.
解析3:设
∠APB=θ,0
PB
=|PA||PB|cosθ=
(1/tanθ 2)2cosθ=
cos2θ 2
sin2θ 2
(1-2sin2θ 2)=
(1-sin2θ 2)(1-
2sin2θ 2)
sin2θ 2
换元：
x=sin2θ 2,0
PA•PB
=(1-x)(1-2x) x
=2x+1 x
-3≥22-3.
解析4:建系：圆的方程为
x2+y2=1
，设
A(x1,y1),B(x1,-y1),P(x0,0),
PA•PB=(x1-x0,y1)•
(x1-x0,-y1)=x21
-2x1x0+x20-y21，
AOPA(x1,y1)•
(x1-x0,y1)=0x21-x1x0+y21=0
x1x0=1.
PA•
PB
=x21-2x1x0+x20-y21=x21
-2+x20-(1-x21)=2x21+x20-3≥22-3.
点评:不管是哪种解法，解答平面向量与解析几何有关的综合问题往往有两种策略：一是建立直角坐标系转化为坐标运算（解析4），二是直接运用向量问题求解.同时本题也非常好的考察了几种求最值的方法，不等式，三角法，求导.
二、向量与线性规划的结合
例2
已知椭圆E的中心在坐标原点O，且经过点A(
1,25 5
),B(-2,5 5).圆C以点(2,0)为圆心，椭圆的短半轴长为半径.
（1）求椭圆的标准方程
（2）若点P是圆上的一个动点，求
CP•OP的取值范围.
命题意图:本小题主要考查向量的坐标表示以及用抛物线求最值.
解析:（1）
x2 5+y2=1.
（2）由（1）椭圆短半轴长为1，所以圆的方程为
(x-2)2+y2=1
设P(x,y)则
CP
=(x-2,y).
CP•OP
=x(x-2)+y2=x(x-2)+1-(x-2)2-2x-3
，P在圆上所以1≤x≤3，因此得到CP•
OP∈［-1,3］.
点评:本题考察了向量的坐标表示，坐标系已经给出所以很容易得到
CP•OP的表达式.
例3 (南通市09-10高三其中调研测试13)如图2在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1,点M,N分别是AB,BC中点,P是三角形ABC(包括边界)内任意一点，则
AN•MP的取值范围是
［-3 4,3 4］.
命题意图:本小题主要考查向量的数量积运算与线性规划的知识，着重考查用线性规划求最值的方法法同时也考查了考生综合运用数学知识的能力.
解析:以AC,BC分别为x,y轴建立坐标系如图3示，则B(0,1),A(1,0),
M(
1 2,1 2
),N(0,1 2),P(x,y),所以
AN=(-1,1 2)
,MP=(x-1 2,y-
1 2)，
(0≤x≤1,0≤y≤1),所以
AN•MP
=-x+1 2y+1 4.
所以由线性规划的知识得到
AN•MP∈
［-3 4,3 4］.
点评:本题是线性规划和向量的可以说完美结合，关键是想
不到用线性规划的知识来解决，主要还是对向量的两种解决方法不熟悉，刚开始也想到用模但是走不通，后观察是等腰直角三角形，因此用坐标来解决更为方便，而得到向量内积的表达式之后需要对线性规划的知识扎实的掌握.
三、运用几何意义解决向量问题
例4 （2009全国卷Ⅰ理）设a、b、c是单位向量，且
a•b＝0，则
(a-c)•(b-c)的最小值为.
命题意图:本小题主要考查向量的数量积运算以及对向量的几何意义的理解.
解析:
a•b=0,
a,b,c是单位向量，所以
(a-c)•(b-c)=
1-c•(a+b),又
a• b=0,
因此
ab,所以
|a+b|=
2,所以(a-b)•(a-c)
=1-2cosθ(θ为
(a+b)与c的夹角）.
所以(a-b)•(a-c) 的最小值为
1-2.
点评:运用几何性质解决一些问题时需要联系运用题目的相关条件才可以达到突破，本题要求向量的表达式很容易求得.
[TP
.tif>,Y#][TS（][HT5”SS]图4
[TS）]
例5（南京市09-10第一学期期末调研）设
a,b,c是单位向量，且a+b=c
，则a•c值是.
命题意图:本小题主要考查向量几何意义的理解.
解析:
a,b,c
是单位向量，且a+b=c,
因此a,b,c如图4所示,a,b的夹角只能为
120°,所以得到
a•c为
-1 2.
点评:本题采用单纯的向量的几何意义，又类似于物理中力的合成简单快捷的
解决了本题，当然也可以用代数法来进行但是远不如几何法快捷方便直观.
例6 （2009年广东卷理）若平面向量
a,b满足
|a+b|=1,a+b平行于x
轴，
b
=(2,-1),
则a=.
命题意图:本小题同样主要考查向量几何意义的理解.
解析:平面向量
a,b满足|a+b|=1，因此（
a+b）在单位圆上，
a+b
平行于x轴因此
a+b的坐标只能是（0,1）或（0，-1），因此
a=(-2,2)或(-2,0).
点评:本题如果用代数法, 平行于x轴用代数语言不好进行描述，即使能得到代数关系,解的时候也是相当复杂，而几何法的巨大威力在本题中展示的淋漓尽致.
回味这几种类型的向量问题,不管是第一种的坐标的运用，还是向量和线性规划的结合以及几何法发挥，思维的角度不同方法也是各有特色，只要在平时的学习中注意积累和总结，很多数学问题就可以迎刃而解.