关注交汇,提升能力

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【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）10-0101-02

高考数学科《考试说明》明确指出：“从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络的交汇点处设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度”.由此可见，关注交汇性试题具有其必要性和重要性.

一、关注知识点的交汇

中等难度的试题往往涉及两个或三个知识点的交汇，主要考查考生对数学知识的灵活、

综合运用能力.

例1 设集合A={（x，y）|y=2x+1，x，y∈R}，B{（x，y）|x2+（y-a）2=5，x，y∈R}，若集合A∩B恰有2个子集，则实数C= （ ）

A.4或6 B.4或-6 C.6或-4 D.-4或-6

分析：首先要理清集合A表示的是直线y=2x+1上所有点构成的集合，集合B表示的是圆x2+（y-a）2=5上所有点构成的集合；其次要能将题设条件“集合A∩B恰有2个子集”等价转化理解为“集合A∩B只有一个元素”；接下来，我们就很容易感悟到――直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，即可迅速获解.

解析：集合A∩B恰有2个子集，即集合A∩B中恰有1个元素，亦即直线2x-y+1=0和圆x2+（y-a）2=5相切.从而，由 ，可得a=6或-4.故选C.

评注：本题求解的关键在于，先将集合形式的约束条件等价转化为直线与圆相切，然后

再利用点到直线的距离公式.

二、关注“数形结合思想”和“等价转化思想”的交汇

分析有关涉及函数的性质（主要指奇偶性、单调性、周期性、对称性等）与零点问题时，

往往需要将“数形结合思想”和“等价转化思想”加以灵活、综合运用.

例2 已知偶函数y=f（x），x∈R满足f（x+1）=-f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=1-x2.若函数，则当x∈[-3，4]时，函数y=f（x）-g（x）的零点共有 （ ）

A.4个 B.5个 C.6 个 D.7

分析：首先要在同一坐标系内画出函数f（x）与g（x）的图象；其次需要等价转化目标问题――求函数y=f（x）-g（x）的零点个数，即求方f（x）=g（x）的根的个数，亦即求函数f（x）与g（x）的图象的交点个数.

解析：因为f（x+1）=-f（x），所以f（x+2）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x），所以函数f（x）的周期为2.如图，画出函数f（x）与g（x）的图象，由图可知两图象在 [-3，4]内共有2+3=5个交点.故当x∈[-3，4]时，函数y=f（x）-g（x）的零点共有5个.故选B.

评注：解答本题的关键有三：一是明确函数的周期性；二是将求函数的零点的个数转化为求函数f（x）与g（x）的图象在区间[-3，4]内的交点的个数；三是画函数图象的几个关键点，g（x）图象中的点（-1，1），（1，0），（5，1）以及f（x）图象中的点（2k，1），（2k-1，0），k∈Z.

三、关注“数形结合思想”和“分类与整合思想”的交汇

分析二次函数在变区间上的最值问题，或分析含参二次函数在定区间上的最值问题时，往往需要将“数形结合思想”和“分类与整合思想”加以灵活、综合运用.

例3 已知二次函数f（x）=x2+2x+3，求f（x）在[t，t+1]上的最小值g（t）的解析式.

分析：首先要作出函数f（x）的图像；然后让区间[t，t+1]在x轴上由左向右运动变化，

同时考虑二次函数的单调性或对称性，即可顺利获解.

解析：首先作出函数f（x）的图像（略）.注意到图像的对称轴x=-1位置确定，但区间[t，t+1]位置不确定，从而可让变区间在x轴上由左向右运动变化加以讨论分析.

当t+1≤-1，即t≤-2时，由f（x）在区间[t，t+1]上是减少的，易知g（t）=f（t+1）=t2+4t+6；

当-1

当t≥-1时，由f（x）在区间[t，t+1]上是增加的，易知g（t）=f（t）=t2+2t+3.

故所求 .

评注：本题求最小值时，是按变区间左、右端点与给定对称轴的位置分类讨论的.请想一想：如果是求最大值，那么应如何讨论？（提示：按变区间的中点位置与给定对称轴的位置分类讨论）

综上，关注知识点的交汇和常用数学思想方法的交汇，有利于巩固所学知识、方法在解题中的灵活、综合运用，提升解题的技能技巧.