阻抗变换法在求解一类物理问题中的妙用

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1 基本思想

如图1所示理想变压器原、副线圈的匝数分别为n1、n2，副线圈接定值电阻R，原线圈接有效值为U的正弦交流电源，则原线圈的电流有效值是多少？

[TP12GW68。TIF，BP#]

分析 设副线圈的电压和电流分别为U2、I2，

由公式[JZ][SX（]U1[]U2[SX）]=[SX（]n1[]n2[SX）]，[SX（]I1[]I2[SX）]=[SX（]n2[]n1[SX）]，I2=[SX（]U2[]R[SX）]，

得[JZ]I2=[SX（]U2[]R[SX）]=[SX（]n2U1[]n1[SX）]，

[JZ]I1=[SX（]n2[]n1[SX）]I2=（[SX（]n2[]n1[SX）]）2R。

此结果表明：从变压器输入端看过去，实际电路图1可等效于图2，其中R′=（[SX（]n2[]n1[SX）]）2R，即副线圈两端阻值为R电阻“反射”到原线圈回路，相对于乘以一个折合因子（[SX（]n2[]n1[SX）]）2。从某种意义上来说，变压器起到了变换阻抗的作用。变压器的阻抗变换是指变压器的原线圈阻抗与副线圈阻抗之比等于原边匝数与副边匝数之比的平方，此结果在处理一类物理问题中往往使得方法简洁、明了。

2 应用举例

例1 （2014年福建高考第16题）图3为模拟远距离输电实验电路图，两理想变压器的匝数n1=n42R，忽略灯丝电阻随温度的变化，当A、B端接入低压交流电源时

[TP12GW69。TIF，BP#]

A。A1、A2两表的示数相同

B。L1、L2两灯泡的亮度相同

C。R1消耗的功率大于R3消耗的功率

D。R2两端的电压小于R4两端的电压

分析 本题正确答案是D。但在许多资料中，解析都存在逻辑不严密的问题，且解答过程繁琐。如果用阻抗变换法求解，则逻辑严密，清楚明了。

解析 对图3上部分降压变压器电路进行阻抗变换，有

[JZ]R′[KG-*2]L=（[SX（]n4[]n3[SX）]）2RL，

[HJ1。65mm]则A1的示数为 I1=[SX（][SX（]n2[]n1[SX）]U[]2R+R′[KG-*2]L[SX）]

=[SX（]U[][SX（]n1[]n2[SX）]・2R+[SX（]n2[]n1[SX）]RL[SX）]，

而A2的示数为[JZ]I2=[SX（]U[]2R+RL[SX）]，

由于[JZ]RL>2R，n2>n1，

所以I1

由P=I2R和U=IR知，选项C错误、D正确；

由于上部分线路上电压损失小，故灯L1的电压大，其亮度也大。

3 拓展――阻抗匹配

我们知道，在闭合电路中，当外电路的电阻R与电源内电阻r相等时，外电阻R消耗功率最大。R=r的条件叫做阻抗匹配的条件。在无线电电路中常遇到这样的情况，即负载电阻与电源的内阻很不匹配，这时就可以用变压器来耦合，通过变压器的“反射”作用，使负载电阻与电源内阻匹配起来，从而获得最大功率。

例2 如图4所示，理想变压器原所接讯号源的电动势为E=6 V，内阻为r=100 Ω，副线圈所接扬声器的电阻R=8 Ω。

[TP12GW70。TIF，Y#]（1）计算直接把扬声器接在讯号源上时的输出功率；

（2）若用原、副线圈的匝数比为3∶1的变压器耦合，输出功率是多少？

（3）若要求讯号源的输出功率最大，则所用变压器的原、副线圈的匝数比是多少？

解析 （1）直接把扬声器接在讯号源上时，输出功率为

P1=（[SX（]E[]R+r[SX）]）2R=（[SX（]6[]8+100[SX）]）2×100 W=0。025 W。

（2）通过若用变压器耦合，输出功率可利用变压器输入等效电路来计算。

在输入的等效电路来看，扬声称器的等效电阻为

[JZ]R′=（[SX（]n1[]n2[SX）]）2R=（[SX（]3[]1[SX）]）2×8=72 Ω，

从而输出功率为

[JZ]P2=（[SX（]E[]R+r[SX）]）2R′=（[SX（]6[]8+100[SX）]）2×72 W=0。088 W。

（3）由阻抗转换知，扬声器的等效电阻为R′=（[SX（]n2[]n1[SX）]）2R，当R′=r时，变压器的输出功率最大，此时[SX（]n1[]n2[SX）]=[SX（][KF（]2[KF）][]5[SX）]。

例2表明，原来扬声器的电阻与讯号源的内阻（8 Ω与100 Ω）相差很远，很不匹配。若直接接上，则输出功率较小（0。025 W），若经变压器耦合，负载的等效电阻与电源内阻（72 Ω与100 Ω）比较接近，输出功率就大多了（0。088 W）。