基于Matlab的Logistics方程下的混沌现象初步分析

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[摘 要]在混沌现象发现以后，人们通常认为测量的微小误差对天气预报的影响将产生巨大的变化而且不可预测，而本文通过Matlab的Logistic方程模拟混沌现象，并初步得知初值对系统的敏感性、混沌中亦有规律，即系统混沌初期混乱但后期有收敛，无序中存在有序，而通过这些规律我们可以准确地预测天气。

[关键词]混沌现象 初值敏感 无序中的有序

中图分类号：P95 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2015）40-0390-03

1、Matlab的简介

1.1 Matlab主要功能

（表1）

1.2 Matlab的优势和特点

（1）友好的工作平台和编程环境

（2）简单易用的程序语言

（3）强大的科学计算机数据处理能力

（4）出色的图形处理功能

（5）应用广泛的模块集合工具箱

（6）实用的程序接口和平台

（7）应用软件开发（包括用户界面）

2、混沌理论的基本情况

2.1 什么是混沌理论

混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中无法用单一的数据关系，而必须用整体，连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。

“一切事物的原始状态，都是一堆看似毫不关联的碎片，但是这种混沌状态结束后，这些无机的碎片会有机地汇集成一个整体。”

混沌一词原指宇宙未形成之前的混乱状态，古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。在井然有序的宇宙中，西方自然科学家经过长期的探讨，逐一发现众多自然界中的规律，如大家熟知的地心引力，杠杆原理，相对论等。这些自然规律都能用单一的数学公式加以描述，并可以依据此公式准确预测物体的行径。

近半世纪以来，科学家发现许多自然现象即使可以化为单纯的数学公式，但是其行径却无法加以预测。如气象学家Edward Lorenz发现简单的热对流现象居然能引起令人无法想象的气象变化，产生所谓的“蝴蝶效应”. 60年代，美国数学家Stephen Smale发现某些物体的行径经过某种规则性变化之后，随后的发展并无一定的轨迹可循，呈现失序的混沌状态。

2.2 混沌理论的特性

（1）随机性：体系处于混沌状态是由体系内部动力学随机性产生的不规则，常称之为内随机性.例如，在一维非线性映射中，即使描述系统演化行为的数学模型中不包含任何外加的随机项，即使控制参数、初始值都是确定的，而系统在混沌区的行为仍表现为随机性。这种随机性自发地产生于系统内部，与外随机性有完全不同的来源与机制，显然是确定性系统内部一种内在随机性和机制作用。体系内的局部不稳定是内随机性的特点，也是对初值敏感性的原因所在。

（2）敏感性：系统的混沌运动，无论是离散的或连续的，低维的或高维的，保守的或耗散的。时间演化的还是空间分布的，均具有一个基本特征，即系统的运动轨道对初值的极度敏感性。这种敏感性，一方面反映出在非线性动力学系统内，随机性系统运动趋势的强烈影响；另一方面也将导致系统长期时间行为的不可预测性。气象学家洛仑兹提出的所谓"蝴蝶效应"就是对这种敏感性的突出而形象的说明。

（3）分维性：混沌具有分维性质，是指系统运动轨道在相空间的几何形态可以用分维来描述。例如Koch雪花曲线的分维数是1.26；描述大气混沌的洛伦兹模型的分维数是2.06体系的混沌运动在相空间无穷缠绕、折叠和扭结，构成具有无穷层次的自相似结构。

（4）普适性：当系统趋于混沌时，所表现出来的特征具有普适意义。其特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化。这类系统都与费根鲍姆常数相联系。这是一个重要的普适常数δ=4.669201609l0299097…

（5）标度律：混沌现象是一种无周期性的有序态，具有无穷层次的自相似结构，存在无标度区域。只要数值计算的精度或实验的分辨率足够高，则可以从中发现小尺寸混沌的有序运动花样，所以具有标度律性质。例如，在倍周期分叉过程中，混沌吸引子的无穷嵌套相似结构，从层次关系上看，具有结构的自相似，具备标度变换下的结构不变性，从而表现出有序性。

2.3 混沌理论的研究背景

混沌的发现揭示了我们对规律与由此产生的行为之间--即原因与结果之间--关系的一个基本性的错误认识。我们过去认 为，确定性的原因必定产生规则的结果，但现在我们知道了，它们 可以产生易被误解为随机性的极不规则的结果。我们过去认为，简单的原因必定产生简单的结果（这意昧着复杂的结果必然有复杂的原因），但现在我们知道了，简单的原因可以产生复杂的结果。我们认识到，知道这些规律不等于能够预言未来的行为。

这一思想已被一群数学家和物理学家，其中包括威廉・迪托 （William Ditto）、艾伦・加芬科（Alan Garfinkel）和吉姆・约克 （Jim Yorke），变成了一项非常有用的实用技术，他们称之为混沌控制。实质上，这一思想就是使蝴蝶效应为你所用。初始条件的小变化产生随后行为的大变化，这可以是一个优点；你必须做的一切，是确保得到你想要的大变化。对混沌动力学如何运作的认识，使我们有可能设计出能完全实现这一要求的控制方案。这个方法已取得若干成功。混沌控制的最早成就之一，是仅用卫星上遗留的 极少量肼使一颗“死”卫星改变轨道，而与一颗小行星相碰撞。美国 国家航空与航天管理局操纵这颗卫星围绕月球旋转5圈，每一圈 用射出的少许肼将卫星轻推一下，最后实现碰撞。

混沌理论的特征在证券市场中也存在。周K线图看上去与日K线图、小时K线图、5分钟K线图的形状十分相似，这就是证券市场价格的分形特征，我们可以应用5分钟K线图或者小时K线图来推断日K线图或周K线图的形状，为投资决策服务。

2.4 几种典型的混沌系统

（1）抛物线映射：

抛物线映射是一类混沌映射的统称，通常所说的logistic映射和虫口模型都属于抛物线映射。

3、Logistic方程与混沌

3.1 Logistic模型

由荷兰生物学数学家Verhulst 19世纪中叶提出的昆虫数量阻滞增长模型：

其中：表示第k代昆虫数量（1表示最大值），a为资源系数，0≤a≤4保证了 在区间上封闭. 式（1） 为一个一阶非线性差分方程，反映了下一代对上一代的既依赖又竞争的关系，当上一代很少时，繁殖能力不够，导致后代很少；当上一代很多时，会吃掉很多食物，后代难以存活，也会致使后代很少。

Logistic模型又称虫口模型，它最初是用来描述昆虫种群增长数量的。设是某种昆虫第n年内的个体数目，n取整数值，第n+1年的数目为，最简单的虫口模型是

Logistic方程，见式（4.1）：

其中a为增长率，考虑到食物等有限因素而引起虫口饱和。为了处理上的方便，设，考虑关系式，见式（4.2）

其中不在是种群数量，而是当前数量和该地区能容纳最大数量的比率。

若虫口数量不变，即，意味着，但不都是稳定的。对于方程，当参数μ变化时，随之变化，而只有当

根据的不同，有以下几种情况：

a.当0

b.当1

c.当3

3.2 Logistic方程与混沌――matlab模拟

Logistic一维模型是个简单而能表现出许多典型特征的混沌行为，本文是在matlab基础上对其混沌现象的若干特性作模拟实验研究，程序如下

clear；clf； axis（[2.7，4，0，1]）；grid

hold on

for r=2.7：0.002：3.9

x=[0.1]；

for i=2：150

x（i）=r*x（i-1）*（1-x（i-1））；

end

pause（0.1）

fprintf（'r=%.3f＼n'，r）

for i=101：150

plot（r，x（i），'k.'）；

end

end

结果如图1所示：

再次加密r 取值进行实验，结果如图。

由1分支变为2分支，如图2。由2分支变为4分支，如图3。

由4分支变为8分支，如图4。

由8分支变为16分支（2个局部图），如图5

由16分支分为32分支（4个局部图），如图6

由32分支变为8分支，如图7

由8分支变为16分支（2个局部图），如图8

回到8分支（1/2图），如图9

回到16分支（2个局部图），如图10

结果分析：

（1）刚开始的分支是由少到多，到32分支以后，就变得较无规律，有时变多，有时减少，但总是汇聚为8分支或16分支像是有一定的周期；

（2）不同分支汇聚或发散都是同步的，即r数一致；

（3）出现分歧的点越来越密集，从图上坐标的对比可得出。

主要结论：

（1）混沌是有界的（既不收敛也不发散），其迭代轨线始终局限于一个确定的区域，无论内部如何不稳定，混沌系统是稳定的；

（2）混沌的内部看似毫无规律，但是从Logistic方程上看，前部分虽是越来越分散但是后部分却又汇聚的迹象，那么混沌运动在其混沌吸引与内是各态经历却会在某一时间内达到相同的状态，而且是同时的。

参考文献

[1] 艾玛・A.穆萨，刘君，李红枫，范占军，桁林译. 最新动态：混沌和神经网络理论[J].汇率预测技术与应用，第九章.

[2] 申维.分形混沌与矿产预测，69.

[3] 基于互相关检测和混沌理论的弱信号检测方法研究[J].仪器仪表学报，200122（1）.