带有佩亚诺型余项的泰勒公式的新证明

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摘要：本文用数学归纳法给出了带有佩亚诺型余项的泰勒公式的新证明，证明过程简洁严密，且便于学生理解。

关键词：泰勒公式；数学归纳法；佩亚诺型余项

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）20-0120-01

泰勒公式是一元微积分学的一个重要内容，它是分析学中研究解析函数性质的基础，是大学一年级理工科学生必需掌握的内容。带有拉格朗日型余项的泰勒公式的证明有两种方法：一种是多次引用柯西中值定理，可见文献[1]中的证明；另一种是用罗尔中值定理，可见文献[2]中定理5.18的证明。关于泰勒公式的各种余项可参见文献[3]中的讨论，在此不再赘述。文献[4]中指出，如果f■（x）有界，当xx0时，泰勒公式的拉格朗日型余项可换为佩亚诺型余项这样就得到了带有佩亚诺型余项o（（x-x0）n）的泰勒公式。此公式在文献[4]中未给出证明，妨碍了它的使用；对数学专业学生讲解时，也需要补充大量的细节才得以证明。在此，我们给出它的新证明，说明只需要存在f■（x）即可。所用的证明方法是学生熟悉的数学归纳法。文献[3]中曾用此方法证明过该公式，但符号比较抽象，不便于学生理解，很多教科书中未采用。我们以定理的形式给出带有佩亚诺型余项的泰勒公式：

定理：设f■（x0）存在，则

f（x）=f（x0）+■■（x-x0）i+o（（x-x0）n），（xx0）（1）

定理中没有出现f■（x），也就是对f■（x）的存在性及其性质均没有要求。实际上，当n=1时，（1）式为有限增量公式，f"（x）与无关，这更使我们坚信定理的正确性。

证：只要证

■■=0

成立即可。

用数学归纳法。设f'（x0）存在，则：

■■=f'（x0）

所以：

■■=■（■-f'（x0））=0，

即当n=1时结论成立。假设存在正整数k，使当n=k时结论成立。当f■（x0）存在时，则f'（x）在x0处有k阶导数，这时对f'（x）运用归纳法，有：

■■=0

再根据洛必达法则，就得到：

所以当n=k+1时结论也成立。根据数学归纳法，对一切正整数n，结论都成立。

利用归纳法证明本定理，详尽流畅，更严谨，更有逻辑性，关键在于对f'（x）利用归纳法的讲解。本定理摆脱了文献[4]中f■（x）有界这一条件的限制，使用该定理解决一些难题将非常简便，比如文献[4]中总习题三带*的第18题。现以例题的形式给出：

例：设f■（x0）存在，且f（x0）=f'（x0）=…=f■（x0）=0，证明：

f（x）=o[（x-x0）n]（xx0）

将该题的条件代入定理，立得该题结论。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析第四版（上册）[M].北京：高等教育出版社，2010：141-142.

[2]周民强.数学分析（第一册）[M].上海科学技术出版社，2002：295-296.

[3]г.M.菲赫金哥尔茨.微积分学教程（第一卷）[M].3版.杨亮，叶彦谦，译.北京：高等教育出版社，2006：207-216.

[4]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].6版.北京：高等教育出版社，2007：139-142，183.