留心生活中的函数问题

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数学知识来源于生活，反过来又可以指导我们的生活.同学们，学习了函数后，你是否注意到，我们现实生活中的许多问题都可以利用函数模型加以解决，我们不妨来看看几个实例.

今日农村，虽然经济较以前发达多了，但绝大多数农户为了食用方便，仍喜欢在自己承包的农田里围块菜园，种上各种蔬菜，以供一日三餐之需.若我们留意的话，不难发现，这种传统的菜园多数是围成长方形的.那么这种祖祖辈辈沿用的围法科学吗（即围出的面积是否最大）？

例1 已知篱笆的长度为l，试问篱笆如何围法才能使围出的面积最大？

解析 如果将菜园围成长方形，由于篱笆的长度为l，设长方形的长为x，则宽为（如图1），则长方形的面积S（x）=x•=-x2+x，这是一个二次函数，其图像开口向下.所以当x=-=（即将菜园围成正方形）时，［S（x）］max==.

若仍用长为l的篱笆围成圆形菜园，则此菜园的周长为l，所以圆的半径r=，圆的面积S圆=πr2=π•2=.

因为＞，所以S圆＞［S（x）］max，即将菜园围成圆形更科学.

不难得出，相同长度的篱笆围出的圆形菜园比方形菜园至少大27%.

点评 本例是二次函数的实际应用题，我们可以直接根据题意列出二次函数解析式，进而求二次函数的最值.

在生活中，我们经常遇到有些应用问题与平面几何图形有关.在寻求函数模型时，我们还要注意平面几何有关性质的应用.

例2 某房地产公司要在荒地ABCDE（如图2）上划出一块长方形地面建造一幢公寓，问：如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积（尺寸如图2，单位：m）.

解析 当一端点在BC边上时，只有在B点时长方形BB1DC的面积最大，S1=SBCDB1=5600m2；

当一端点在EA边上时，只有在A点时长方形AA1DE的面积最大，S2=SAA1DE=6000m2；

当一端点在AB边上时，设该点为M，如图2，构造长方形MNDP，并补出长方形OCDE.设MQ=x（0≤x≤20），则MP=PQ-MQ=80-x.又OA=20，OB=30且=，所以=，即QB=x，所以MN=QC=QB+BC=x+70，故SMNDP=MN•MP=70+x（80-x）=-x-2+.故当x=时，S3=.

比较S1，S2，S3，得S3最大，此时MQ=m，BM=m.故当长方形一端落在AB边上离B点m处时，公寓占地面积最大.

点评 解答此类问题的关键是建立函数关系式，并确定定义域，而建立函数关系式必须依赖图形的几何性质，如本例中采用了平行线分线段成比例性质和有关面积公式，把问题转化为函数最值问题.

汽车租赁业被称为“朝阳产业”，因无须办理保险、无须年检维修、车型可随意更换等优点，以租车代替买车来控制企业成本，这种在外企中十分流行的管理方式，正慢慢受到国内企事业单位及个人用户的青睐.

例3 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆汽车的月租金为3000元时可全部租出，当每辆汽车的月租金每增加50元时，未出租的车会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需维护费50元.当每辆车的月租金定为多少元时租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

解析1 设每辆车的月租金定为x（x≥3000，x∈N）元时租赁公司的月收益最大，且最大月收益为y元，得y=（x-150）100--50•=-（x-4050）2+307050.

所以当且仅当x=4050时，y取到最大值，且最大值是307050.即每辆车的月租金定为4050元时租赁公司的月收益最大，且最大月收益为307050元.

解析2 设未租出x（x=0，1，2，…，100）辆，则租出了（100-x）辆，每辆车的月租金为（3000+50x）元，得租赁公司的月收益为y=（3000+50x-150）（100-x）-50x=50（-x2+42x+5700）.

所以当且仅当x=21，即每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，且最大月收益为307050元.

点评 解答应用题时常需要设未知数，一般来说，设未知数的方法是“求（问）什么就设什么”，但有时候不这样设解题更简便（如解法2）.

自主创业，勤劳致富也离不开函数.就说甲鱼养殖业吧，函数能帮助我们分析市场，决定养殖规模.

例4 甲、乙两人连续6年对某县甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查，提供了两个方面的信息，如图3所示.

甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第6年2万只.

乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个.

请你根据提供的信息说明：

（1） 这个县第2年甲鱼池的个数及出产甲鱼的总数；

（2） 这个县到第6年甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；

（3） 哪一年的规模最大？说明理由.

解析 首先根据图像可知两种调查信息都符合一次函数模型，因此可以采用待定系数法求出函数的解析式，下面的问题就容易解决了.

（1） 由图可知直线y甲=kx+b经过点（1，1）和（6，2），求得k=0.2，b=0.8，即y甲=0.2（x+4），同理可得y乙=4-x+.

故第2年甲鱼池的个数为26个，出产甲鱼的总数为26×1.2=31.2（万只）.

（2） 规模缩小，原因是：第1年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只.

（3） 设第x年规模最大，即求y甲•y乙=-0.8x2+3.6x+27.2的最大值.当x=-=≈2年时，y甲•y乙=-0.8×4+3.6×2+27.2=31.2，为最大值.即第二年规模最大，为31.2万只.

点评 首先，要读懂图，能够由图设出函数解析式，用待定系数法求出解析式；其次，要会使用求得的解析式解决新问题.在实际问题中，还要注意x的取值范围，如本例中x∈N*，当x=时，只能取x=2.

税收作为国家经济杠杆之一，具有调节收入分配、促进资源配置、促进经济增长的作用.纳税是国家财政收入的主要来源，国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防等事业.

例5 《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算：

某人一月份应交纳的此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？

解析 设当这个人一月份的全月应纳税所得额是x元时，他应交纳的此项税款为f（x）元，则f（x）=0.05x， 0＜x≤500，0.05×500+0.1（x-500）， 500＜x≤2000，0.05×500+0.1×1500+0.15（x-2000），500＜x≤2000.

所以f（0）=0，f（500）=0.05×500=25，f（2000）=25+0.1×1500=175，f（5000）=175+0.15×3000=625，由此可得图4.

设这个人一月份的全月应纳税所得额是x0元，得f（x0）=26.78.由函数f（x）的解析式，知f（x）是增函数，又26.78∈（25.175），所以x0∈（500，2000），再由图4，可得25+0.1（x0-500）=26.78，x0=517.8，所以这个人当月的工资、薪金所得是517.8+800=1317.8元.

点评 以上用示意图的解法把复杂的计算变成了口算，请同学们学会.所有分段计费的问题都可这样简洁求解.

登高望远，一览众山小.可你是否知道，当你爬山登高挑战自我时，危险也时刻伴随着你.如何化险为夷，我们必须尊重科学，请函数来帮忙.

例6 设海平面上（海拔高度为0 m）是一个标准大气压，随着海拔高度的增加，气压越来越低.当海拔高度为1000 m时，约为0.891个大气压；当海拔高度为10000 m时，约为0.317个大气压，当海拔高度为20000 m时，约为0.102个大气压.设海拔高度为x m的地方，气压为y个标准大气压.

（1） 建立y与x间的函数模型，找出y与x的函数关系式；

（2） 从身体需氧的角度讲，当大气压低于0.65个大气压时，就会比较危险.根据你建立的y与x的函数关系，计算常人攀登山的高度不宜超过多少.

解析 首先要根据散点图，找出合适的函数模型进行拟合.计算常人攀登山的高度不宜超过多少即为用二分法找零点.

显然，y随x的增加而减小.且依题意，不可能是直线，也不可能是反比例函数，而用指数型函数较适合.

设y=kax，由x=0时，y=1，知k=1，即y=ax.

由0.891=a1，得a=0.891；由0.317=a10，得a=0.891；由0.102=a20，得a=0.892.所以y=0.891x.

（2） 设0.65=0.891x，构造函数g（x）=0.891x-0.65.

用二分法求此方程的零点x1，g（5）＜0，g（0）＞0，x1∈（0，5）；g（2.5）＞0，g（5）＜0，x1∈（2.5，5）；g（2.5）＞0，g（3.75）＜0，x1∈（2.5，3.75）；g（3.125）＞0，g（3.75）＜0，x1∈（3.125，3.75）；g（3.4375）＞0，g（3.75）＜0，x1∈（3.4375，3.75），知x1约为3600 m.

点评 本例要求寻找函数零点这里采用了二分法，这个方法应该引起同学们的重视.

1. 我国是水资源较贫乏的国家之一，各地采用价格调控手段来达到节约用水的目的.某市用水的收费方法是：水费=基本费+超额费+损耗费.若每月用水量不超过最低限量am3，只付基本费8元和每户每月定额损耗费c元，若用水量超过am3，除了付以上的基本费和损耗费外，超过部分每m3还要付b元的超额费.已知每户每月的定额损耗费不超过5元，该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付费用如下表所示：

根据上表中的数据，求a，b，c.

2. 某公司是一家专做某产品国内外销售的企业，每批产品上市销售40天内全部售完.该公司对第一批产品上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如下图所示，其中图5中的折线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系；图6中的抛物线表示国内市场的日销售量与上市时间的关系；图7中的折线表示每件产品的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）.

（1） 分别定出国外市场的日销售量f（t），国内市场的日销售量g（t）与第一批产品的上市时间t的函数关系式；

（2） 第一批产品上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过6300万元？

1. a=10，b=2，c=1.

2. （1） f（t）=2t，0≤t≤30，-6t+240，30＜t≤40，g（t）=-t2+6t（0≤t≤40）.

（2） 第一批产品上市后，在第24，25，26，27，28，29天，这家公司的日销售利润超过6300万元.