高考数列核心考点揭秘

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数列是传统高考考查的核心内容，也是新高考考查的重点． 数列蕴涵着丰富的数学思想，是考查逻辑推理和转化化归能力的良好素材． 新课程高考数列难度有所降低，但在很多地区的高考命题中仍将其作为“把关题”，难度大、区分度高．

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等差数列与等比数列

【考纲要求】 （1）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题；

（2）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．

【考纲解读】 等差、等比数列是两类最基本的数列，等差、等比数列的定义、通项公式、前n项的和等基本知识一直是高考考查的重点，这方面考题的解法灵活多样，技巧性强，考查的目的在于测试考生灵活运用知识的能力，这个“灵活”就集中在“转化”的水平上．

【经典例题】 设等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为_______．

命题意图 本题主要考查等差、等比数列的定义．

思路分析 等差、等比数列的定义与性质是解决客观题的“金钥匙”， 回归定义能避免分类讨论；由特殊到一般更是解决数列问题常用的方法．

完美解答 法1：由题意，Sn－Sn+1=Sn+2－Sn，所以－an+1=an+2+an+1，得an+2=－2an+1，所以q=－2.

法2：由题意有2S1=S2+S3，所以a3=－2a2，所以q=－2.

【经典例题】 已知等比数列｛an｝满足an>0，且an－1，an+1是方程x2+mx+22n=0的两个实根，则log2a1+log2a3+…+log2a2n－1等于（ ）

A． n（2n－1）?摇 ?摇 B． （n+1）2

C． n2 D． （n－1）2

命题意图 本题主要考查等比数列的定义与性质、等差数列的求和．

思路分析 等差、等比数列的定义与性质是解决客观题的“金钥匙”， 回归定义能避免分类讨论，合理利用性质能简化解题．

完美解答 因为an－1·an+1=a■■=22n，an>0，所以an=2n，所以log2a1+log2a3+…+log2a2n－1=log2（a1a3…a2n－1）=log22■=log22■=n2，故选C．

【命题趋势】 等差数列与等比数列的定义与性质的考查（文科解答题也将以等差数列与等比数列为载体）常见于客观题，要求熟练掌握它们的性质与解题方法．

an与Sn的关系

【考纲要求】 了解an与Sn的关系，并能解决简单的实际问题．

【考纲解读】 an与Sn是数列中两个重要的量，利用an与Sn的关系an=S1，n=1，Sn－Sn－1，n≥2可以求得其中一个，进而解决问题，求解时要注意分类讨论．

【经典例题】 已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且对任意正整数n，有Sn，■an，n（a≠0，a≠1，a为常数）成等差数列，则数列｛an｝的通项公式an=________．

命题意图 本题考查an与Sn的关系，考查数列通项公式的求法．

思路分析 由条件得到an与Sn的关系式，再构造an+1与Sn+1的关系，进而求出an的通项公式．

完美解答 由题意■an=Sn+n①，所以■an+1=Sn+1+n+1②，

②-①得■an+1=■an+1，即an+1+1=a（an+1），

所以｛an+1｝是以a为公比的等比数列，所以an+1=（a■+1）an－1，

又由■a1=a1+1?圯a1=a－1，所以an=an－1．

【命题趋势】 an与Sn是数列问题的核心，而两者的关联多次在考题中出现．

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数列的通项公式与求和

【考纲要求】 理解数列的概念，了解数列通项公式的意义；了解数列求和的常用方法（倒序相加法、错位相减法、裂项相消法）．

【考纲解读】 数列的通项与求和是数列考查的重要内容，要求理解数列通项公式的意义和求法；掌握数列的通项与前n项和的关联，了解并掌握数列求和的常用方法．

【经典例题】 已知数列｛an｝满足a1=1，an>0，Sn是数列｛an｝的前n项和，对任意的n∈N?鄢，有2Sn=p（2a■■+an－1），p为常数．

（1）求数列｛an｝的通项公式；

（2）设bn=■，求数列｛bn｝的前n项和Tn；

（3）设cn=■，求数列｛cn｝的前n项和Hn．

命题意图 本题以数列前n项和为载体，考查数列的通项与求和．

思路分析 Sn与an是数列中两个重要的量，Sn与an之间的关系是解决数列问题的前提，解题时要注意n=1的情况，对于（2）要运用错位相减法求和；第3问用裂项相消法求和．

完美解答 （1）当n=1时，2S1=p（2a■■+a1－1），又a1=S1=1，所以p=1．

所以2Sn=2a■■+an－1，又2Sn+1=2a■■+an+1－1，

两式相减得：

（an+1+an）（2an+1－2an－1）=0．

因为an>0，所以an+1=an+■，

所以｛an｝是以1为首项，■为公差的等差数列，所以an=■．

（2）由bn=■=■，

则Tn=■+■+■+…+■，

■Tn=■+■+■+…+■+■，

相减，得■Tn=■+■+■+…+■－■=■+■－■=■－■－■，

所以Tn=■－■．

（3）由cn=■=■=4■－■，

所以Hn=c1+c2+…+cn=4■－■+■－■+…+■－■=■．

【经典例题】 已知正数数列｛an｝满足：a1=1，Sn=■an+■，其中Sn为数列｛an｝的前n项和．

（1）求数列｛an｝的通项an；

（2）求■+■+…+■的整数部分．

命题意图 数列的通项与前n项和的关系是数列中最重要的关系，由Sn与an的关系求出an后再求和．

思路分析 题目条件给出的是Sn与an的关系，保留Sn还是an是解题的关键；而第1问求出an是解决第2问的前提，第2问是非精确求和，要求对■进行合理放缩．

完美解答 （1）因为Sn=■an+■=■（Sn－Sn-1）+■，

即Sn+Sn-1=■，即S■■-S■■=1，n=2，3，4…，所以S■■为等差数列．

又S■■=a■■=1，所以S■■=n，所以Sn=■，所以an=1，n=1，■－■，n≥2.

（2）■=■=■，当n≥2时，2（■－■）=■

【命题趋势】 高考对数列的考查离不开通项与前n项和，通过主观题考查简单数列的通项与前n项和，对理科的要求较高．

递推数列

【考纲要求】 了解递推公式是给出数列的一种方法，会根据简单的递推关系求数列的通项公式．