中考数学压轴题分类解析(一)

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇中考数学压轴题分类解析(一)范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

由于压轴题涉及到的数学知识点较多，结构复杂，题型新颖，解法没有固定模式，因而难度较大，对同学们的解题技能、技巧有较高的要求.而解这类题的正确率在很大程度上却决定了考分的高低.

一般试卷中的压轴题常以综合题的形式出现，常常循序渐进地设计成几道小题目.要顺利解答压轴题，除了基础知识要扎实之外，审题也很关键.搞清题目的类型，理清题目中的知识点，分清条件和结论，注意关键语句找出关键条件，特别要挖掘隐含条件，并尽量根据题意列出相关的数式或画出示意图形，然后分析条件和结论之间的联系，从而找到正确合理的解题途径.将复杂问题分解或转化成较为简单或者熟悉的问题则是解此类题目的一条重要原则.在解答的书写表达中要做到运算正确，推理严密，表达清晰.现介绍几类常见的中考压轴题，供同学们参考.

一、以函数为背景的压轴题

例1（2006广州课改卷考题）已知抛物线y=x2+mx-2m2(m≠0)．

（1）求证：该抛物线与x轴有两个不同的交点.

（2）过点P （0，n）作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m，n ，使得 AP＝2PB？若存在，则求出m，n满足的条件；若不存在，请说明理由．

解：（1）证法1：y=x2+mx-2m2=（x+m/2）2-9/4m2，

当m≠0时，抛物线顶点的纵坐标为-9/4m2＜0，

顶点总在x轴的下方．

又该抛物线的开口向上，

该抛物线与x轴有两个不同的交点．

（或者，当m≠0时，抛物线与y轴的交点(0,-2m2)在x轴下方，而该抛物线的开口向上， 所以该抛物线与 x轴有两个不同的交点.）

证法2：Δ=m2-4×1×(-2m2）=9m2，

当m≠0时，9m2＞0，

该抛物线与x轴有两个不同的交点．

（2）存在实数m,n，使得AP=2PB．

设点B的坐标为(t,n)，由AP=2PB可知，

①当点B在点P的右边时（如图1），t＞0，点A的坐标为(-2t,n)，

且t,-2t是关于x的方程x2+mx-2m2=n的两个实数根．

Δ＝m2-4×1×(-2m2-n)=9m2+4n＞0，即n＞-9/4m2．

且t+（-2t）=-m（1），t（-2t）=-2m2-n（2）.

由（1）得，t=m，即m＞0．

将t=m代入（2）得，n=0．即当m＞0且n=0时，有AP=2PB．

②当点B在点P的左边时，t＜0，点A的坐标为（2t,n），

且t,2t是关于x的方程x2+mx-2m2=n的两个实数根．

所以Δ=m2- 4×1×(-2m2-n)=9m2+4n＞0,即n＞-4/9m2，

且t+2t=-m（1），t（2t）=-2m2-n（2）.

由（1）得，t=-m/3，即m＞0．

将t=-m/3代入（2）得，n=-20/9m2且满足n>-9/4m2，

即当m＞0且n=-20/9m2时，有AP=2PB．

点评：本题是一道以二次函数为背景的压轴题，是一道区分度较好的试题，其第（1）小题只需同学们熟悉二次函数的基本性质即可得证；第（2）小题则有一定的能力要求，较易漏解，这往往是缺乏数形结合思想所致，解这类题时不要急着下笔，要在领会命题者的意图后，方可下笔.

二、以动态几何为背景的压轴题

例2（2006河北课改卷考题）图1至图5的正方形霓虹灯广告牌ABCD都是20×20的等距网格（每个小方格的边长均为1个单位长），其对称中心为点O．

如图1，有一个边长为6个单位长的正方形EFGH的对称中心也是点O，它以每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大（即点O不动，正方形EFGH经过一秒由6×6扩大为8×8；再经过一秒，由8×8扩大为10×10；……），直到充满正方形ABCD，再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小，然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小．

另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ从如图1所示的位置开始，以每秒1个单位长的速度，沿正方形ABCD的内侧边缘按ABCDA移动（即正方形MNPQ从点P与点A重合位置开始，先向左平移，当点Q与点B重合时，再向上平移，当点M与点C重合时，再向右平移，当点N与点D重合时，再向下平移，到达起始位置后仍继续按上述方式移动）．

正方形EFGH和正方形MNPQ从如图1的位置同时开始运动，设运动时间为x秒，它们的重叠部分面积为y个平方单位．

（1）请你在分别画出x为2秒、18秒时，正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重叠部分（重叠部分用阴影表示），并分别写出重叠部分的面积.

（2）①如图2，当1≤x≤3.5时，求y与x的函数关系式；

②如图3，当3.5≤x≤7时，求y与x的函数关系式；

③如图4，当7≤x≤10.5时，求y与x的函数关系式；

④如图5，当10.5≤x≤13时，求y与x的函数关系式．

（3）对于正方形MNPQ在正方形ABCD各边上移动一周的过程，请你根据重叠部分面积y的变化情况，指出y取得最大值和最小值时，相对应的x的取值情况，并求出最大值和最小值分别是多少．

解：（1）相应的图形如图1-1，1-2．

当x=2时，y=3；

当x=18时，y=18．

（2）①当1≤x≤3.5时，如图2-1，

延长MN交AD于K，设MN与HG交于S，MQ与FG交于T，则MK=6+x，SK=TQ=7-x，从而MS=MK-SK=2x-1，MT=MQ-TQ=6-（7-x）= x-1．

y=MT・MS=（x-1）（2x-1）=2x2-3x+1．

②当3.5≤x≤7时，如图2-2，设FG与MQ交于T，则

TQ=7-x，MT=MQ-TQ=6-（7-x）=x-1．

y=MN・MT=6（x-1）=6x-6．

③当7≤x≤10.5时，如图2-3，设FG与MQ交于T，则

TQ=x-7，MT=MQ-TQ=6-（x-7）=13-x．

y= MN・MT =6（13-x）=78-6x．

④当10.5≤x≤13时，如图2-4，设MN与EF交于S，NP交FG于R，延长NM交BC于K，则MK=14-x，SK=RP=x-7，

SM=SK－MK=2x-21，从而SN=MN-SM=27-2x，NR=NP-RP=13-x．

y=NR・SN=（13-x）（27-2x）=2x2-53x+351．

（3）对于正方形MNPQ，

①在AB边上移动时，当0≤x≤1及13≤x≤14时，y取得最小值0；

当x=7时，y取得最大值36．

②在BC边上移动时，当14≤x≤15及27≤x≤28时，y取得最小值0；

当x=21时，y取得最大值36．

③在CD边上移动时，当28≤x≤29及41≤x≤42时，y取得最小值0；

当x=35时，y取得最大值36．

④在DA边上移动时，当42≤x≤43及55≤x≤56时，y取得最小值0；

当x=49时，y取得最大值36．

点评：压轴题是一道动态问题，但此题相比非课改卷出得更加新颖别致，本题的图型运动情况比较复杂，应当先仔细阅读，待读懂题意后再下笔.另外，在解第（3）小题时要充分利用前两个小题的结论.

三、以四边形为背景的压轴题

例3（2006北京课改B卷考题）我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形.请解答下列问题：

（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；

（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．

解：（1）答案不唯一，如正方形、矩形、等腰梯形等等．

（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．

已知：四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=BD，且∠AOD＝60°.

求证：BC+AD≥AC．

证明：过点D作DF//AC，在DF上截取DE，使DE=AC．

连结CE，BE．

故∠EDO=60°，四边形ACED是平行四边形.

所以BDE是等边三角形，CE=AD．

所以DE=BE=AC．

①当BC与CE不在同一条直线上时（如图1），

在BCE中，有BC+CE>BE．

所以BC+AD＞AC．

②当BC与CE在同一条直线上时（如图2），

则BC+CE=BE．

因此BC+AD=AC．

综合①、②，得BC+AD≥AC．

即等对角线四边形中两条对角线所夹角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长．

点评：本题是一道探索题，此类题是近年来中考命题的热点问题，在第（2）小题中要求先猜想可能的结论，再进行证明，这对同学们的解题能力要求较高，而在探索结论前可以自己先画几个草图，做到心中有数再去努力求证.很多同学往往忽略特殊情况而没有进行讨论，应当对此予以关注.总之，这是一道新课标形势下的优秀压轴题.