导数问题命题特点及破解技巧
开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇导数问题命题特点及破解技巧范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！
摘 要： 导数是函数的局部性质，一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率，导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2015）11-0138-02
导数是微积分中的重要基础概念，有是高中数学的新增内容之一，在高中阶段的引入意义深远，利用导数既可从更深的角度来研究函数性质，又可更广泛地联系其他学科，体现数学学科的基础性。
从近几年高考来看，该部分高考命题有以下特点：从内容上看，考查导数主要有三个层次：①导数的概念、求导公式与法则、导数的几何意义;②导数的简单应用，包括求函数极值、求函数的单调区间、证明函数的单调性等;③导数的综合考查，包括导数的应用题以及导数与函数、不等式等的综合题.从特点上看，高考对导数的考查有时单独考查，有时在知识交汇处考查，常常将导数与函数、不等式、方程、数列、解析几何等结合在一起考查.从形式上看，考查导数的试题有选择题、填空题、解答题，有时三种题型会同时出现.
考点一 导数的运算及几何意义
例1、直线 是曲线y= 的一条切线，则实数b=
破解 设切点坐标为（x0，y0），则 = = ，所以x0=2，y0= ，
又 切点也在直线y= x+b上， 则b= -1.
[方法规律]
求曲线y= 的切线方程的类型及方法.
（1）已知切点P（x0，y0），求切线方程;
（2）已知切线的斜率k，求切线方程;
（3）已知切线上一点（非切点），求切线方程.
考点二 利用导数研究函数的单调性
例2、设函数 = + ，其中a为常数.
（1）若 ，求曲线y= 在点（1， ）处的切线方程;
（2）讨论函数 的单调性.
破解 （1）由题意知 时，此时 = .可得 = ，又
f（1）=0，
所以曲线y= 在（1，f（1））处的切线方程为x-2y-1=0.
（2）函数 的定义域为（0，+∞）.
当a≥0时， ，函数 在（0，+∞）上单调递增.
当a<0时，令g（x）= ，由于Δ= ，
①当a=- 时，Δ=0， ，函数 在（0，+∞）上单调递减
②当a<- 时，Δ<0，g（x）<0， ，函数 在（0，+∞）上单调递减.
③当- 0时，Δ . 设 是函数 的两个零点，
所以x∈（0，x1）时， <0， <0，函数 单调递减;x∈（x1，x2）时， >0， >0，函数 单调递增;x∈（x2，+∞）时， <0，
<0，函数 单调递减.
综上可得：当a≥0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增;
当a≤- 时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减;
当 时， 在 ，
上单调递减，在 上单调递增.
[方法规律]
利用导数研究函数单调性的一般步骤
（1）确定函数的定义域.
（2）求导数 .
（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数 的定义域内解（或证明）不等式 >0或 <0即可;②若已知 的单调性，则转化为不等式 ≥0或 ≤0在单调区间上恒成立问题求解.
考点三 利用导数研究函数的极值与最值
例3、已知函数 的导函数 为偶函数，且曲线 在点（0， （0））处的切线的斜率为4-c.
（1）确定a，b的值;
（2）若c=3，判断 的单调性;
（3）若 有极值，求c的取值范围.
破解 （1）对 求导得 ，由 为偶函数，知
= ，
所以a=b.又f′（0）=2 +2b-c=4-c 故a=1，b=1.
（2）当c=3时，f（x）=e2x-e-2x-3x，
那么 =2e2x+2e-2x-3≥2 -3=1>0，故 在R上为增函数.
（3）由（1）知 =2e2x+2e-2x-c，而2e2x+2e-2x≥2 =4，当x=0时等号成立
下面分三种情况进行讨论.
当c<4时，对任意x∈R， =2e2x+2e-2x-c>0，此时 无极值;
当c=4时，对任意x≠0 =2e2x+2e-2x-4>0，此时 无极值;
当c>4时，令e2x=t，注意到方程2t+ -c=0有两根t1，2= >0，
即 =0有两个根x1= lnt1或x2= lnt2.
当 时， <0;又当 时， >0，从而 在
处取得极小值.
综上，若 有极值，则c的取值范围为（4，+∞）.
[方法规律]
（1）求函数y= 在某个区间上的极值的步骤：
第一步：求导数 ;
第二步：求方程 =0的根x0;
第三步：检查 在 左、右的符号
（2）导数值为0的点不一定是函数的极值点，它是函数在该点取得极值的必要而不充分条件.
（3）求函数 在区间[ ，b]上的最大值与最小值的步骤：
第一步：求函数 在区间（ ，b）内的极值（极大值或极小值）;
第二步：将 的各极值与 ， 进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
考点四 定积分及应用（理）
例4直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为
A.2 B.4 C.2 D.4
破解 首先求出两曲线的交点，画出图形，确定出被积函数，再用积分求出面积.
令4x=x3，解得x=0或x=±2，
S=错误！（4x-x3）= =8-4=4， 故选D.
[方法规律]
（1）求函数 在某个区间上的定积分，关键是求出满足 的原函数 ，要正确应用定积分的性质，正确运用求导运算与求原函数
的运算互为逆运算的关系.如果被积函数为分段函数，那么需要根据公式
= + 分别求得每段区间的积分，再求和.
（2）求两曲线围成的平面图形面积的一般步骤：作图象（找到所求平面图形），求交点（确定积分上、下限），用定积分表示所求的面积，再利用微积分基本定理求定积分.