浅谈数学思想在不等式中的应用

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数学思想,是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中,经过思维活动而产生的结果.数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识,它通常包括函数与方程思想、数形结合思想、化归思想、换元思想、分类讨论思想、符号与变元表示的思想、集合思想、对应思想、公理化与结构思想、整体思想、极限思想、抽样统计思想等.“数学思想”比一般的“数学概念”具有更高的概括抽象水平,后者比前者更具体、更丰富,而前者比后者更本质、更深刻.在高中数学学习过程中,掌握一些重要的数学思想是很有必要的.下面针对高中数学不等式中常用到的几个数学思想谈谈我拙劣的一些见解.

一、函数与方程思想

在不等式问题中,可以把不等式看成函数或方程模式,将问题变为函数和方程等形式求解.

例1 过曲线y=x2-2上一点A(xn,f(xn))的直线l的斜率为2xn,且l与x轴交于点(xn+1,0),其中x1=2,n∈N.(1)用xn表示xn+1;(2)证明:xn+1-

解:(1)点A(xn,xn2-2),直线l的方程为y-(xn2-2)=2xn(x-xn),令y=0可解得x=,即xn+1=.

(2)由x1=2,又xn=(n≥2),得xn>0.

欲证xn+1-

(3)xn+1-xn=xn+-xn=

因为xn>0,xn>,xn2>2

所以xn+1-xn

所以{xn}是递减数列,且{xn}max=x1=2

要使xn{xn}max=2.

所以a>2

评析:这是一道不等式、数列、函数的综合问题,它以二次曲线为背景,以直线方程为基础,建立数列{xn}的递推关系式,进而证明不等式,并通过证明数列{xn}是递减数列完成解不等式.

二、等价转换思想

运用等价转换思想,可以把不等式化繁为简、化难为易、化陌生为熟知,从而达到快速解题的效果.

例2 解不等式>x+1.

解法1:原不等式等价:

(1)2x+5≥0x+1≥02x+5>(x+1)2

或(2)2x+5≥0x+1

解(1)、(2)得原不等式的解集为{x|-≤x

解法2:设I={x|2x+5≥0}={x|x≥}且A={x|>x+1,则={x|≤x+1}2x+5≥0x+1≥02x+5≤(x+1)2={x|x≥2},从而解得A={x|-≤x

评析:对于无理不等式的解法,一般采用等价转化为不等式组来处理,注意分类讨论,同时还应采用“正难则反”的策略求解.

三、换元思想

当一些不等式表面看来简单明了,却无从下手时,可以经过适当换元,从而使问题迎刃而解.

例3 解不等式

解:(整体换元)令y=,则logax=(y2+2),所以y≥02y2-3y+1>00≤y=1≤logax1.由(3)得logax>,所以≤logax1,或a>1时,解集为[,)∪(a,+∞);0

评析:这类换元是根号里面整体换元,换元后要注意新变量的条件范围,确保前后一致.

四、数形结合或分类讨论思想

在不等式问题解决过程中,如果通过数形结合,会使有些问题变得非常直观或是明显;如果用分类讨论的方法,将问题分解成若干易处理的问题来解决,要注意分类的界限性、有效性、无遗漏性等.

例4 解不等式

解:(通过局部换元后,用数形结合或讨论法求解)

令t=logax,则t≥且),y1与y2图像(略)交点为(,),(1,1),由图像观察可得:t=logax>1,或≤t=logax,所以≤logax1,故a>1时,解集为[,)∪(a,+∞);0

评析:数形结合能使解题明了,更直观、简捷,特别是在解决一些填空、选择题时更能突显它的作用;而分类讨论使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答.

不等式在高考数学中占的分量比较重,它的思想、方法语言贯穿高中数学的始终,有时同一道题可以运用不同的方法去解决,如例4中,等价转化、分类讨论、数形结合、换元法等数学思想方法在本题多种解法中均有体现.学生如能熟练地利用一些数学思想去解题,将会起到事半功倍的效果,也会常有“柳暗花明又一村”“一览众山小”的情况出现.数学中渗透着基本数学思想,它们是基础知识的灵魂,如果能使它们落实到我们的数学学习和应用中去,那么我们将会得到更多.

(作者单位:浙江省青田县船寮高级中学)

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