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在数学教学中,为了加深对所学过的概念、公式、定理等基础知识与相关的数学思想方法的理解掌握,离不开对例题的学习与思考。那么,面对一道例题,是跟随着教材中的思路与解答过程进行简单地分析讲解,还是带着思考的眼光对问题进行一番打量审视.不同的教学取向,将会得到不同的效果。
本文仅以苏教版《必修5》第44-45页中的两道例题为例,为在例题教学时,提出几点建议,供参考。
例1.某剧场有20排座位,后一排比前一排多2个座位,最后一排有60个座位,这个剧场共有多少个座位?
这是第44页中的一道例题,教材中提供了如下一种解答:
解:这个剧场个排座位数组成等差数列{an},其中公差d=2,项数n=20,且第20项是a20=60。
由等差数列的通项公式,得60=a1+(20-1)×2,所以a1=22。
答:这个剧场共有820座位。
从上述解答过程可以看出,这道例题是为了考查等差数列的求和公式的应用而安排的。
大家知道,等差数列的求和公式有两种表达形式,即
显然,教材中给出这种解法是基于公式①来思考的。因为在本题中,是利用公式①来求剧场的座位总数,其中的n=20,a20=60,只有a1未知,为此,在公差d=2时,利用an=a1+(n-1)d求出a1。
上述解法,不仅省去了直接求出a1的运算过程,简化了运算过程,还体现了推导等差数列前n和公式时所用的倒序相加的思想方法。
在教学过程中,若能引导学生这样去审视本题,则对这个例题的理解就会更加深刻。
再看第45页中的一道例题:
例2.某种卷筒卫生纸绕在盘上,空盘时盘芯直径40mm,满盘时直径120mm(如图),已知卫生纸的厚度为0.1mm,问:满盘时卫生纸的总长度大约是多少米(精确到1m)?
对于本题,教材中给出的解法是:
解:卫生纸的厚度为0.1mm,可以把它绕在盘上的卫生纸近似地看做是一组同心圆,然后分别计算各圆的周长,再求总和。
由内向外各圈的半径分别为20.05,20.15,…,59.95,
因此,各圈的周长分别为40.1π,40.3π,…,119.9π,
答:满盘时卫生纸的长度约为100m。
不难看出,本题是一个与我们的日常生活密切关联,且饶有趣味的实际问题。教材中的呈现的解法,显然是将思维固化在等差数列的视角上。其解题的思维分析以及计算过程显得不是那么轻松。是否有更加简明一些的求解方法?回答也是肯定的!其前提是,不要固化我们的思维视角,即未必把问题非看成数列问题。这样,就可以从把问题视为立体几何中的等体积问题来求解,请看以下方法:
设卷筒卫生纸的高度为hmm,卫生纸的总长为xmm。
显然,卷筒卫生纸的体积等于卫生纸拉伸舒展后的体积。
也即,满盘时卫生纸的长度约为100m。
由上述解法,我们很快可以得出以下问题的一般性结论:
上述解法,由于思维视角不落窠臼,揭示了问题之本质,从而使得问题的求解过程异常简洁明了,给人以耳目一新之感!
透过以上两道例题的分析思考,我们不难得到以下对例题教学的几点启示:
其一,要清楚问题考查什么。
教材中例题的设计有不同的意图。如果是新授课后的例题,一般是为了巩固加深对所学过的概念、公式与定理等数学基础知识而安排的,如例1,考查的是理解知识与运用知识的能力。这类例题一般难度不大,但可以从所学知识的不同变式去理解问题;但有的例题,也常常是综合性的问题,既涉及基础知识与基本技能,也可能牵涉到数学思想方法,如例2,这类例题所考查的是较综合的分析问题与解决问题的能力。对于这类例题的学习理解,要注意不拘泥当前所学的知识与方法的束缚,用联系的视角看问题。
其二,要关注思路能否优化。
一个数学问题往往可从不同的角度去审视理解,从而得到解决问题的不同思维路径,而沿着不同的思维路径所演绎出来的不同的问题求解方法,可以是迥然不同的,或迂回繁琐,或明快简洁。鉴于此,在例题的学习中,要养成对同一道例题的不同思维路径所达成的解题过程的繁简程度,进行必要评估比较的习惯。从评估比较的过程中,发现优劣、总结得失,达到增强优化解决问题的思维视角意识,不断积累解题的得失经验,提高自己的数学思维水平。
其三,要考虑问题可否变通。
众所周知,一个数学概念、公式与定理,可以有不同的变式。同样,一个数学问题也可以做出各种各样的变通,或转换问题条件,看结论之变化;或保持结论不变,再搜寻应具备的条件;或透过问题的特殊性,寻觅它的一般性等等。总之,在例题的学习过程中,重视对问题的各种可能的变通进行一番思量探究,不但可以加深对所学例题的理解与内化,还可以起到举一反三的作用,这对于加深理解掌握所学的数学知识技能以及数学思想方法,无疑是大有裨益的。