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一、 基础梳理
1. 题组训练一
(1) 若A=-1,0,1,2,3,B=2,3,4,则A∩B=.
(2) 若A=x|-1
(3) 若A=x|-1
(4) 若A=x|-1
简答 (1) 2,3 (2) (2,3) (3) 2 (4) 3,+∞
点评 本题组是求两个集合的交集,表面上看起来没有区别,但试题的难度却在不断上升,并且都在应当掌握的范围内,其本质就是题(1).
2. 题组训练二
(1) 若A=x|x2-2x-3
(2) 若A=x|x2-2x-3
(3) 若A=x|x2-2x-3
简答 (1) (2,3) (2) 2 (3) 3,+∞
点评 本题组在上一题组的基础上又有提高,除了会求两个集合的交集外,首先要会解一元二次不等式,通过本题组的训练,希望能根据集合交并补运算的意义,养成一题多变的好习惯,逐步实现多题归一的认知目标.训练时,可以随即将交集换成并集,或变化成补集,确确实实达到夯实基础的目的.
拓展延伸 设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},其中x∈R,如果A∩B=B,求实数a的取值范围.
解析 由A∩B=B得BA,而A=-4,0,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8
当Δ=8a+8
当Δ=8a+8=0,即a=-1时,B=0,符合BA;
当Δ=8a+8>0,即a>-1时,B中有两个元素,而BA=-4,0;
B=-4,0,得a=1.
实数a的取值范围为a=1或a≤-1.
点评 因为本题中集合A是含两个元素的集合,而BA,所以集合B可能是空集、含一个元素的集合、含两个元素的集合,正好与一元二次方程根的三种情况相吻合,值得注意的是B中只含一个元素时,这个元素必须是A中两个元素中的一个;当B中含两个元素时,这两个元素必须和A中两个元素完全一样.
思考 若将本题中的A∩B=B改为A∪B=B你能求出a的范围吗?
二、 方法归纳
【例1】 设M={x,y|y=2a2-x2,a>0},N={x,y|(x-1)2+(y-3)2=a2,a>0},求M∩N=时a的最大值和最小值.
解析 如右图,集合M表示以O(0,0)为圆心,半径r1=2a的上半圆,集合N表示以O′(1,3)为圆心,半径r2=a的圆.这两圆的半径随着a的变化而变化,但|OO′|=2.当两圆外切时,2a+a=2,a=22+1=22-2;当两圆内切时,2a-a=2,a=22+2.
a的最大值为22+2,a的最小值为22-2.
点评 M∩N=反映两个集合M,N所表示的两条曲线之间的关系,用数形结合的思想处理本问题恰恰到好处,直观、简单、明了、易懂.
【例2】 设函数y=x2+ax+b,A=x|y=x=a,M=a,b,求M.
解析 由A=a得x2+ax+b=x的两个根x1=x2=a,
即x2+(a-1)x+b=0的两个根
x1=x2=a,
x1+x2=1-a=2a,得a=13,
x1x2=b=19,集合M=13,19.
延伸 从集合U=a,b,c,d的子集中选出4个不同的子集,需同时满足以下两个条件:
(1) a,b都要选出;
(2) 对选出的任意两个子集A和B,必有AB或BA,那么共有种不同的选法.
简答 36
点评 (1) 集合作为一种数学语言,要求我们了解集合的含义,体会元素与集合的关系,理解集合间的关系;
(2) 空集与全集是特殊的集合,应引起重视,必要时要加以讨论;在题目中出现“至多”、“至少”等信息时,可考虑“正难则反”的补集思想.
(3) 根据近几年高考试题的分析及命题立意的发展变化,我们应运用好集合思想,把握问题的整体与共性,善于运用分类讨论、数形结合思想去解决有关问题,同时强化用集合的观点去理解问题、表达问题,解决问题.
牛刀小试
1. 若集合A=1,4,x,B=1,x2且A∩B=B,则x=.
2. 设集合A={x-3≤x≤2},B={x|2k-1≤x≤2k+1},且AB,则实数k的取值范围是.
3. 设集合A=a|a=n2+1,n∈Z,集合B=b|b=k2-4k+5,k∈Z,则集合A和B的关系是.
4. 若集合A=x|2x-1|
5. 已知集合M=-1,1,N=x12
6. 设P和Q是两个集合,定义集合P-Q=x|x∈P,且xQ,如果P={x|log2x
7. 若集合A=a,b,B=x|xA,M=A,求
BM.
8. 已知集合A=x|-2≤x≤a,B={y|y=2x+3,x∈A},C={z|z=x2,x∈A},且CB,求a的取值范围.
9. 全集S=1,3,x3+3x2+2x,A={1,2x-1},如果
SA=0,则这样的实数x是否存在?若存在,求出x;若不存在,请说明理由.
10. 已知集合A={x|x≠2n或x≠3n,n∈N,1≤x≤100},试求集合A的元素之和.
【参考答案】
1. 0或-2或2
2. -1≤k≤12 3. A=B
4. x-1
5. -1
6. x|0
7. xA,则x=,{a},{b},{a,b},B={,{a},{b},{a,b}}
CBM=,a,b.
8. B=x|-1≤x≤2a+3,当-2≤a≤0时,C=x|a2≤x≤4,
而CB 则2a+3≥4,即a≥12,而-2≤a≤0,这是矛盾的;
当0
则2a+3≥4,即a≥12,即12≤a≤2;
当a>2时,C=x|0≤x≤a2,而CB,
则2a+3≥a2,即 2
9. 由
SA=0得0∈S,即S=1,3,0,A=1,3,
2x-1=3x3+3x2+2x=0,x=-1.
10. 设U=1,2,3……,则
uA={x|x=2n且x=3n,1≤n≤100}
={x|x=6n,x∈N,1≤n≤100},
于是集合A中元素之和
=(1+2+…+100)-(6+12+…+96)=4234.