高考中的立体几何与空间向量

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江苏高考说明中强调要重视数学基本能力的考查，而数学基本能力在立体几何、空间向量的考核中主要包括空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力。纵观江苏近几年的高考数学试题，立体几何大多以解答题的形式出现，且属于容易题范畴，难度不大，且都是考查空间线线、线面、面面平行和垂直的关系证明；空间向量是理科选修部分内容，属于附加题考查范畴，且以解答题的形式出现，主要考查空间向量在立体几何中的应用，即用向量方法判断或证明有关线、面的平行或垂直位置关系以及解决空间中的异面直线所成的角、线面角、二面角、点到直线的距离的计算。下面笔者结合几道例题谈谈高考中的立体几何和空间向量。

【例1】（2012年高考（江苏））如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且ADDE，F为B1C1的中点.

求证：（1） 平面ADE平面BCC1B1；

（2） 直线A1F∥平面ADE.

【命题分析】本题主要考查面面垂直、线面平行的判定；考查学生空间想象能力、推理论证能力；书写过程是否流畅、准确。

解析证明：（1） ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABC.

又AD平面ABC，CC1AD.

又ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1∩DE=E，AD平面BCC1B1.

又AD平面ADE，

平面ADE平面BCC1B1.

（2） A1B1=A1C1，F为B1C1的中点，A1FB1C1.

又CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，CC1A1F.

又CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1∩B1C1=C1，A1F平面BCC1B1.

由（1）知，AD平面BCC1B1，A1F∥AD.

又AD平面ADE，A1F平面ADE，直线A1F∥平面ADE.

点拨（1） 要证平面ADE平面BCC1B1，只要证平面ADE上的AD平面BCC1B1即可。它可由已知ABCA1B1C1是直三棱柱和ADDE证得.

（2） 要证直线A1F∥平面ADE，只要证A1F∥平面ADE上的AD即可.。

【例1】（2012年高考（广东理））如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PC上，PC平面BDE.

（1） 证明：BD平面PAC；

（2） 若PA=1，AD=2，求二面角BPCA的正切值.

分析本题主要考查运用向量的方法证明空间中的垂直关系及求解二面角的大小。

解（1） 略

（2） 由（1）可知BD平面PAC，而AC平面PAC，所以BDAC，而ABCD为矩形，所以ABCD为正方形，于是AB=AD=2.

以A点为原点，AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Axyz.则P（0，0，1）、C（2，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），于是BC=（0，2，0），PB=（2，0，-1）.设平面PBC的一个法向量为n1=（x，y，z），则n1·BC=0

n1·PB=0，从而2y=0

2x-z=0，令x=1，得n1=（1，0，2）.而平面PAC的一个法向量为n2=BD=（-2，2